课时作业1变化率问题导数的概念|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．若函数y＝f(x)＝x2－1，图象上点P(2,3)及其邻近点Q(2＋Δx,3＋Δy)，则＝()A．4B．4ΔxC．4＋ΔxD．Δx解析：∵Δy＝(2＋Δx)2－1－(22－1)＝4Δx＋(Δx)2，∴＝＝4＋Δx.答案：C2．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若一质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是()A．－3B．3C．6D．－6解析：由平均速度和瞬时速度的关系可知，v＝s′(1)＝lim(－3Δt－6)＝－6.答案：D3．某物体的运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是()A.＝＝B.＝C.＝D.＝解析：由平均速度的定义可知，物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比．所以＝＝.答案：A4．某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋(t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为()A.米/秒B.米/秒C．8米/秒D.米/秒解析：∵＝＝＝Δt＋8－.∴lim＝8－＝.答案：B5．若f(x)在x＝x0处存在导数，则lim()A．与x0，h都有关B．仅与x0有关，而与h无关C．仅与h有关，而与x0无关D．以上答案都不对解析：由导数的定义知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关．答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知函数y＝＋3，当x由2变到1.5时，函数的增量Δy＝________.解析：Δy＝f(1.5)－f(2)＝－＝－1＝.答案：7．已知函数y＝2x2－1的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则等于________．解析：＝＝4＋2Δx.答案：4＋2Δx8．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝处的瞬时变化率是________．解析：∵＝＝－Δx－3，∴lim＝－3.答案：－3三、解答题(每小题10分，共20分)9．求函数y＝x2－2x＋1在x＝2附近的平均变化率．解析：设自变量x在x＝2附近的变化量为Δx，则y的变化量Δy＝[(2＋Δx)2－2(2＋Δx)＋1]－(22－4＋1)＝(Δx)2＋2Δx，所以，平均变化率＝＝Δx＋2.10．一辆汽车按规律s＝3t2＋1做直线运动(时间单位：s，位移单位：m)，求这辆汽车在t＝3s时的瞬时速度．解析：设这辆汽车在3s到(3＋Δt)s这段时间内的位移的增量为Δs，则Δs＝3·(31＋Δt)2＋1－28＝3(Δt)2＋18Δt，所以＝3Δt＋18，所以lim(3Δt＋18)＝18.故这辆汽车在t＝3s时的瞬时速度为18m/s.|能力提升|(20分钟，40分)11．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于()A．2B．－2C．3D．－3解析：∵f′(1)＝lim＝lim＝a.∵f′(1)＝3，∴a＝3.故选C.答案：C12．已知f(x)在x＝x0处的导数为4，则lim＝________.解析：lim＝lim＝2lim＝2f′(x0)＝2×4＝8.答案：813．已知s(t)＝5t2.(1)求t从3秒到3.1秒的平均速度；(2)求t从3秒到3.01秒的平均速度；(3)求t＝3秒时的瞬时速度．解析：(1)当3≤t≤3.1时，Δt＝0.1，Δs＝s(3.1)－s(3)＝5×(3.1)2－5×32＝5×(3.1－3)×(3.1＋3)，∴＝＝30.5(m/s)．(2)当3≤t≤3.01时，Δt＝0.01，Δs＝s(3.01)－s(3)＝5×(3.01)2－5×32＝5×(3.01－3)×(3.01＋3)，∴＝＝30.05(m/s)．(3)在t＝3附近取一个小时间段Δt，即3≤t≤3＋Δt(Δt>0)，∴Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝5×(3＋Δt)2－5×32＝5·Δt·(6＋Δt)，∴＝＝30＋5Δt.当Δt趋于0时，趋于30.∴在t＝3时的瞬时速度为30m/s.14．建造一栋面积为xm2的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y＝f(x)＝＋＋0.3，求f′(100)，并解释它的实际意义．解析：根据导数的定义，得f′(100)＝lim＝lim＝lim＝lim＝lim＝0.105.f′(100)＝0.105表示当建筑面积为100m2时，成本增加的速度为1050元/m2，也就是说当建筑面积为100m2时，每增加1m2的建筑面积，成本就要增加1050元．2
