1.3平均值不等式（二）一、选择题1.设x、y、z＞0，且x＋3y＋4z＝6，则x2y3·z的最大值为()A.1B.2C.3D.4解析由x、y、z＞0及≥(其中a1＞0，…an＞0)，∴x2y3z＝··y·y·y·4z≤＝1.答案A2.设a，b，c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，令x＝，则x的取值范围为()A.B.C.[1，8)D.[8，＋∞)解析∵x＝＝··＝≥＝8，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴x≥8.答案D3.已知|AB|⊥|AC|，|AB|＝，|AC|＝t.若点P是△ABC所在平面内的一点，且|AP|＝4ABACABAC��，则PB·PC的最大值等于()A.13B.15C.19D.21解析建立平面直角坐标系，用坐标法求解.∵AB⊥AC，故可以A为原点，AB，AC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系.不妨设B，C(t，0)，则AP＝＋＝(4，1)，故点P的坐标为(4，1).PB·PC＝·(t－4，－1)＝－4t－＋17＝－＋17≤－2＋17＝13.当且仅当4t＝，即t＝时(负值舍去)取得最大值13.答案A4.已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列关系式总成立的是()A.V≥πB.V≤πC.V≥πD.V≤π解析设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题意得：4r＋2h＝6，即2r＋h＝3，于是有V＝πr2h≤π·＝π＝π，当且仅当r＝h时取等号.答案B5.如果圆柱的轴截面周长l为定值，那么圆柱的体积最大值是()A.πB.πC.πD.π解析l＝4r＋2h，即2r＋h＝，V＝πr2h≤π＝π.答案A16.在区间上，函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)与g(x)＝在同一点取相同的最小值，那么f(x)在区间上的最大值是()A.B.4C.8D.解析g(x)＝x＋＋1在x＝1时，取最小值3.∴b＝－2，c＝4.答案B二、填空题7.函数y＝(x≠0)有最大值______，此时x＝______.解析∵x≠0，∴x2>0.∴y＝＝≤＝，当且仅当x2＝，即x4＝9，x2＝3，x＝±时取等号，即当x＝±时，ymax＝.答案±8.建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为180元和80元，那么水池的最低总造价为________.解析设池长xm，则池宽m，水池总造价y＝180×4＋2×2××80＋2×2×x×80＝720＋320·≥720＋320×4＝2000(元)，当且仅当x＝2时“＝”成立.答案2000元三、解答题9.在△ABC中，如果三内角满足：sin2A＋sin2B＝5sin2C，求证：sinC≤.证明在△ABC中，由正弦定理，得＝＝＝2R.又∵sin2A＋sin2B＝5sin2C，∴a2＋b2＝5c2.由余弦定理，得cosC＝＝≥＝＝.由0
