第1课时正弦定理和余弦定理[基础题组练]1．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cosA＝且ba，所以B＝60°或120°，故满足条件的三角形有两个．3．△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，c＝2a，bsinB－asinA＝asinC，则sinB的值为()A.－B.C.D.解析：选C.由正弦定理，得b2－a2＝ac，又c＝2a，所以b2＝2a2,所以cosB＝＝，所以sinB＝.4．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若＝＝，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：选D.由正弦定理，得＝＝，即tanB＝tanC＝1，所以B＝C＝，所以A＝，所以△ABC为等腰直角三角形．故选D.5．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sinB＝，C＝，则b＝________．解析：由sinB＝，C＝，得B＝，A＝.由＝，解得b＝1.答案：16．若△ABC的内角A，B，C满足6sinA＝4sinB＝3sinC，则cosB＝________.解析：设角A，B，C的对边分别为a，b，c，因为6sinA＝4sinB＝3sinC，即＝＝，由正弦定理得＝＝，可设a＝2k，b＝3k，c＝4k，k>0，由余弦定理得cosB＝＝.答案：7．(2019·兰州模拟)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB＋bcosA＝0.(1)求角A的大小；(2)若a＝2，b＝2，求边c的长．解：(1)因为asinB＋bcosA＝0，所以sinAsinB＋sinBcosA＝0，即sinB(sinA＋cosA)＝0，由于B为三角形的内角，所以sinA＋cosA＝0，所以sin＝0，而A为三角形的内角，所以A＝.(2)在△ABC中，a2＝c2＋b2－2cbcosA，即20＝c2＋4－4c，解得c＝－4(舍去)或c＝2.8．(2019·沈阳市质量监测(一))在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2＋c2＝a2＋bc.(1)求角A的大小；(2)若sinA＝2sinBcosC，试判断△ABC的形状并给出证明．解：(1)由b2＋c2＝a2＋bc，可知＝，根据余弦定理可知，cosA＝，又角A为△ABC的内角，所以A＝.(2)法一：△ABC为等边三角形．证明如下：由三角形内角和定理得，A＝π－(B＋C)，故sinA＝sin(B＋C)，根据已知条件，可得sin(B＋C)＝2sinBcosC，整理得sinBcosC－cosBsinC＝0，所以sin(B－C)＝0.又B－C∈(－π，π)，所以B＝C，又由(1)知A＝，所以△ABC为等边三角形．法二：△ABC为等边三角形．证明如下：由正弦定理和余弦定理，得a＝2b×，整理得b2＝c2，即b＝c.又由(1)知A＝，所以△ABC为等边三角形．[综合题组练]1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2B＝2sinAsinC，cosB＝，a>c，则＝()A．B．2C．3D．4解析：选B.由正弦定理，得b2＝2ac，又cosB＝＝，即＝，整理得2－＋2＝0，又a>c，所以＝2，故选B.2．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA＝()A．B．C．－D．－解析：选C.如图，过点A作AD⊥BC.设BC＝a，则BC边上的高AD＝a.又因为B＝，所以BD＝AD＝a，AB＝a，DC＝a－BD＝a，所以AC＝＝a.在△ABC中，由余弦定理得cosA＝＝＝－.3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b＝a，A＝2B，则cosA＝________．解析：因为A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB．因为b＝a，所以由正弦定理可得＝＝＝＝2cosB，所以cosB＝，所以cosA＝cos2B＝2cos2B－1＝2×－1＝.答案：4．在钝角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝3，则c的取值范围是________．解析：三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此可得15，②若∠A为钝角，则cosA＝＝<0，解得0
