54分专项练(三)18、19、20、211．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosB＋bsinA＝c.(1)求角A的大小；(2)若a＝，△ABC的面积为，求b＋c的值．2．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列是首项为1，公差为2的等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足＋＋…＋＝5－(4n＋5)·，求数列{bn}的前n项和Tn.3．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC＝2，D为AB的中点，E为AC边上一点，且AE＝2EC，沿DE把△ADE折起得到一个四棱锥PBCED，使得PB＝，如图②.(1)证明：平面PDE⊥平面BCED；(2)求直线PB与平面PCE所成角的正弦值．4．某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额(单位：元)，如图所示：(1)将去年的消费金额超过3200元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取2人，求至少有1位消费者去年的消费金额超过4000元的概率；(2)针对这些消费者，该健身机构今年欲实行会员制，详情如表所示：会员等级消费金额普通会员2000银卡会员2700金卡会员3200预计去年消费金额在(0，1600]内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在(1600，3200]内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在(3200，4800]内的消费者都将会申请办理金卡会员．消费者在申请办理会员时，需一次性缴清相应等级的消费金额．该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：方案1：按分层抽样从普通会员、银卡会员、金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励．普通会员中的“幸运之星”每人奖励500元，银卡会员中的“幸运之星”每人奖励600元，金卡会员中的“幸运之星”每人奖励800元．方案2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球(球只有颜色不同)的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球．若摸到红球的总数为2，则可获得200元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励．规定每位普通会员均可参加1次摸奖游戏，每位银卡会员均可参加2次摸奖游戏，每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏(每次摸奖的结果相互独立)．以奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由．54分专项练(三)18、19、20、211．解：(1)△ABC中，acosB＋bsinA＝c，由正弦定理得sinAcosB＋sinBsinA＝sinC，又sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sinBsinA＝cosAsinB，又sinB≠0，所以sinA＝cosA，又A∈(0，π)，所以tanA＝1，A＝.(2)由S△ABC＝bcsinA＝bc＝，解得bc＝2－；又a2＝b2＋c2－2bccosA，所以2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－(2＋)bc，所以(b＋c)2＝2＋(2＋)bc＝2＋(2＋)(2－)＝4，所以b＋c＝2.2．解：(1)因为数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以Sn＝2n2－n.当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－n)－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3.当n＝1时，a1＝1也符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝4n－3.(2)当n＝1时，＝，所以b1＝2a1＝2.当n≥2时，由＋＋…＋＝5－(4n＋5)，①得＋＋…＋＝5－(4n＋1).②①－②，得＝(4n－3).因为an＝4n－3，所以bn＝＝2n(当n＝1时也符合)，所以＝＝2，所以数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，所以Tn＝＝2n＋1－2.3．解：(1)证明：因为∠C＝90°，AB＝2BC＝2，所以AC＝，∠A＝30°.因为AE＝2EC，所以AE＝AC＝.在△ADE中，由余弦定理得DE2＝AD2＋AE2－2AD·AEcosA＝12＋－2×1××＝，所以DE＝，所以AD2＋DE2＝AE2，所以DE⊥AB，所以PD⊥DE.又因为PD＝BD＝1，PB＝，即PB2＝PD2＋BD2，所以PD⊥BD.又因为DE，BD⊂平面BCED，DE∩BD＝D，所以PD⊥平面BCED.又因为PD⊂平面PDE，所以平面PDE⊥平面BCED.(2)由(1)可知，BD⊥DE，PD⊥平面BCED，如图所示，以D为原点，DB，DE，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，E，P(0，0，1)，C，所以PE＝，EC＝.设n＝(x0，y0，z0)为平面PCE的法向量，所以令y0＝，则x0＝－1，z0＝1，即n＝(－1，，1)．又PB＝(1，0，－1)，所以|cos〈PB，n〉|＝＝＝.设直线PB与平面PCE所成的角为θ，则sinθ＝.即直线PB与平面PCE所成角的正弦值为.4．解：(1)设...
