第21讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式夯实基础【p50】【学习目标】1．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式；2．掌握二倍角公式；3．灵活应用公式．【基础检测】1．化简cos15°cos45°－sin15°sin45°的值为()A.B.C．－D．－【解析】由题意可得：cos15°cos45°－sin15°sin45°＝cos(15°＋45°)＝cos60°＝.故选A.【答案】A2.sincos＝()A.B.C.D.【解析】由题意得，sincos＝sin＝×＝，故选C.【答案】C3．若sinα＝，则cos2＝()A.B.C.D．0【解析】cos2＝＝＝＝.故选C.【答案】C4．已知α、β为锐角，sinα＝，tan＝，则tanβ＝()A.B.C．3D.【解析】 sinα＝，α为锐角，∴cosα＝＝.∴tanα＝＝.∴tanβ＝tan＝＝.故选A.【答案】A【知识要点】1．两角和与差的三角函数公式S(α±β)：sin(α±β)＝__sin__αcos__β±cos__αsin__β__．C(α±β)：cos(α±β)＝__cos__αcos__β∓sin__αsin__β__．T(α±β)：tan(α±β)＝____(α，β，α±β≠kπ＋，k∈Z)．2．二倍角的三角函数公式S2a：sin2α＝__2sin__αcos__α__．C2α：cos2α＝__cos2α－sin2α__＝__2cos2α－1__＝__1－2sin2α__．T2α：tan2α＝____．3．常用公式变形(1)tanα±tanβ＝__tan(α±β)(1∓tan__α·tan__β)__；(2)降幂：cos2α＝____，sin2α＝____；(3)配方：1±sinα＝；(4)升幂：1＋cosα＝__2cos2__；1－cosα＝__2sin2__．4．辅助角公式asinα＋bcosα＝sin(α＋φ).sinα±cosα＝sin.典例剖析【p51】考点1三角函数公式的基本应用(1)若α∈，tan＝，则sinα等于()A.B.C．－D．－【解析】(1) tan＝＝，∴tanα＝－＝，∴cosα＝－sinα.又 sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＝.又 α∈，∴sinα＝.【答案】A(2)计算的值等于__________．【解析】由sin47°＝sin＝sin30°cos17°＋sin17°cos30°知，原式＝＝.【答案】【小结】观察分析角和三角函数名称之间的关系，实现非特殊角向特殊角的转化是求解此类题的关键．(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．考点2三角函数公式的逆用和变形用(1)已知cos＋sinα＝，则sin的值是()A．－B.C．－D.【解析】cos＋sinα＝sinα＋cosα＝sin＝，所以sin＝，故sin＝sin＝－sin＝－，选C.【答案】C(2)在斜三角形ABC中，sinA＝－cosB·cosC，且tanB·tanC＝1－，则角A的值为()A.B.C.D.【解析】由题意知：sinA＝－cosB·cosC＝sin(B＋C)＝sinB·cosC＋cosB·sinC，在等式－cosB·cosC＝sinB·cosC＋cosB·sinC两边同除以cosB·cosC，得tanB＋tanC＝－，又tan(B＋C)＝＝－1＝－tanA，所以tanA＝1，A＝.【答案】A考点3角的变形问题已知cosα＝，sin＝，且α，β∈.求：(1)cos的值；(2)β的值．【解析】(1)因为α，β∈，所以α－β∈，又因为sin(α－β)＝，所以0＜α－β＜，则cos＝，sinα＝，则cos(2α－β)＝cos＝cosαcos－sinαsin＝.(2)cosβ＝cos＝cosαcos＋sinαsin＝.又因为β∈，所以β＝.【小结】仔细分析角与角之间的关系是利用两角和与差的三角函数求值的关键，解这部分问题时，“一看角、二看名、三看结构”．(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．【能力提升】在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知sin＝2sin2.(1)求sinAcosB的值；(2)若＝，求B.【解析】(1)sin＝1－cos＝1－sinC＝1－sin，故2sinAcosB＝1，∴sinAcosB＝.(2)由正弦定理得＝＝，由(1)知sinAcosB＝sinBcosB＝sin2B＝，∴sin2B＝，∴2B＝或，∴B＝或.方法总结【p52】1．巧用公式变形：和差角公式变形：tanx±tany＝tan(x±y)·(1∓tanx·tany)；倍角公式变形：降幂公式cos2α＝，sin2α＝，配方变形：1±sinα＝，1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝...
