空间向量的正交分解及其坐标表示A级基础巩固一、选择题1．下列说法中正确的是()A．任何三个不共面的向量都可构成空间的一个单位正交基底B．不共面的三个向量就可构成空间的单位正交基底C．单位正交基底中的基向量的模为1，且互相垂直D．不共面且模为1的三个向量可构成空间的单位正交基底解析：因为单位正交基底中的三个向量必须是模等于1，且两两互相垂直．故只有C正确.答案：C2．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标是(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是()A．(12，14，10)B．(10，12，14)C．(14，12，10)D．(4，3，2)解析：OA＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k.答案：A3．在空间直角坐标系中，点P(1，2，3)关于x轴对称的点的坐标为()A．(－1，2，3)B．(1，－2，－3)C．(－1，－2，3)D．(－1，2，－3)解析：在空间坐标系中，点P关于x轴的对称点横坐标不变，其余坐标为原来的相反数．答案：B4.如图所示，在四面体O-ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则MN＝()A.a－b＋cB．－a＋b＋cC.a＋b－cD.a＋b－c解析：连接ON，MN＝ON－OM＝(OB＋OC)－OA＝(b＋c)－a＝－a＋b＋c.答案：B5．已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝OA＋OB＋OC，向量b＝OA＋OB－OC，则与a，b不能构成空间基底的向量是()A.OAB.OBC.OCD.OA或OB答案：C二、填空题6．已知向量a，b，c是空间的一个单位正交基底，向量a＋b，a－b，c是空间的另一组基底，若向量p在基底{a，b，c}下的坐标是(1，3，4)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为____1____．答案：(2，－1，4)7.如图所示，在空间四边形OABC中，已知E是线段BC的中点，G是AE的中点，若OA，OB，OC分别记为a，b，c，则OG＝________(用a，b，c表示)．解析：如图所示，连接OE.OG＝OE＋EG＝(OB＋OC)＋EA＝(OB＋OC)－(AC＋AB)＝(OB＋OC)－(OC－OA＋OB－OA)＝(OB＋OC)－(OC＋OB－2OA)＝OB＋OC＋OA＝a＋b＋c.答案：a＋b＋c8．三棱锥P-ABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC的中点，N为AC中点，以{BA，BC，BP}为基底，则MN的坐标为________．解析：如图所示，建立空间直角坐标系．BA＝(1，0，0)，BP＝(0，0，1)，BC＝(0，1，0)．MN＝BN－BM＝(BA＋BC)－(BP＋BC)＝BA－BP，即MN＝.答案：三、解答题9．在空间直角坐标系中，给定点M(1，－2，3)，求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐标．解：M(1，－2，3)关于坐标平面xOy，xOz，yOz对称的点的坐标分别为(1，－2，－3)，(1，2，3)，(－1，－2，3)；M(1，－2，3)关于x轴、y轴、z轴对称的点的坐标分别为(1，2，－3)，(－1，－2，－3)，(－1，2，3)；M(1，－2，3)关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，2，－3)．210．如图所示，四棱锥P-OABC的底面为一平行四边形，设OA＝a，OC＝b，OP＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用向量a，b，c表示BF，BE，AE，EF.解析：BF＝BP＝(BO＋OP)＝(c－b－a)＝－a－b＋c.BE＝BC＋CE＝－a＋CP＝－a＋(CO＋OP)＝－a－b＋c.AE＝AP＋PE＝AO＋OP＋(PO＋OC)＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c.EF＝CB＝OA＝a.B级能力提升1．若向量MA，MB，MC的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量MA，MB，MC成为空间一组基底的关系是()A.OM＝OA＋OB＋OCB.MA＝MB＋MCC.OM＝OA＋OB＋OCD.MA＝2MB－MC答案：C2．设a，b，c是三个不共面的向量，现在从①a＋b；②a－b；③a＋c；④b＋c；⑤a＋b＋c中选出使其与a，b构成空间的一个基底，则可以选择的向量为________(填序号)．解析：构成基底只要三个向量不共面即可，这里只要含有向量c即可，故③④⑤都是可以选择的．答案：③④⑤3．如图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥平面α，线段BD⊥AB，且AB＝7，AC＝BD＝24，线段BD与平面α所成的角为30°，求CD的长．解析：由AC⊥平面α，可知AC⊥AB，如图所示，过点D作DD1⊥平面α，D1为垂足，连接BD1，则∠DBD1为BD与平面α所成的角，即∠DBD1＝30°，所以∠BDD1＝60°.因为AC⊥α，DD1⊥α，所以AC∥DD1，所以〈CA，DB〉＝60°，所以〈CA，BD〉＝120°.又CD＝CA＋AB＋BD，所以|CD|2＝(CA＋AB＋BD)2＝|CA|2＋|AB|2＋|BD|2＋2CA·AB＋2CA·BD＋2AB·BD.因为BD⊥AB，AC⊥AB，3所以BD·AB＝0，AC·AB＝0.故|CD|2＝|CA|2＋|AB|2＋|BD|2＋2CA·BD＝242＋72＋242＋2×24×24×cos120°＝625，所以|CD|＝25.4
