2.2.2椭圆的几何性质课时过关·能力提升1.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍,那么这个椭圆的离心率为()A.√54B.√32C.√22D.12答案:B2.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为12,且它的长轴长等于圆C:x2+y2−2x−15=0的半径,则椭圆的标准方程是()A.x24+y23=1B.x216+y212=1C.x24+y2=1D.x216+y24=1解析:由x2+y2-2x-15=0,知圆的半径为4,故2a=4,即a=2.又e¿ca=12,则c=1.故b2=a2-c2=4-1=3.故选A.答案:A3.已知过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,Q,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为()A.√3B.√32C.√33D.√22解析:在Rt△PF1F2中,设|PF1|=m(m>0),由已知得|F1F2|¿√3m,∨PF2∨¿2m,则e¿ca=2c2a=|F1F2||PF1|+|PF2|=√33.答案:C4.若方程x2a2−y2a=1表示焦点在y轴上的椭圆,则a的取值范围是()A.a<0B.-1
1解析:因为方程x2a2−y2a=1表示焦点在y轴上的椭圆,所以{a<0,a2<-a⇒{a<0,-11时,b=3,a¿√k+8,∴c¿√a2-b2=√k+8-9=√k-1,∴√k-1√k+8=12,解得k=4.符合k>1,∴k=4;当椭圆的焦点在y轴上,即-8|AH|,仅当F1与H重合时,|AF1|=|AH|,所以当m=1时,△AFB的周长最大,此时S△FAB¿12×2×∨AB∨¿3.答案:38.已知直线x+2y-2=0经过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率e等于.解析:由题意知椭圆的焦点在x轴上,又直线x+2y-2=0与x轴、y轴的交点分别为(2,0),(0,1),它们分别是椭圆的焦点和顶点,所以b=1,c=2,从而a¿√5,所以e¿ca=2√55.答案:2√559.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(1,32),且离心率e=12,求此椭圆的方程.分析:由椭圆的离心率可得a,c的关系,从而知道b,c的关系,再由点在椭圆上,代入方程即可求得椭圆的标准方程.解:由题意知,椭圆的离心率e¿12,所以ca=12,所以a=2c,所以b2=a2-c2=3c2,所以椭圆的方程为x24c2+y23c2=1.又因为点(1,32)在椭圆上,所以14c2+(32)23c2=1,所以c2=1,所以椭圆的方程为x24+y23=1.★10.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=√32,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4,求椭圆的方程.分析:由离心率e¿ca=√32及a2=b2+c2,可得a=2b.由菱形面积为4,可得ab=2.两式联立可求得a,b,从而得到椭圆的方程.3解:由e¿ca=√32,得3a2=4c2.再由c2=a2-b2,解得a=2b.由题意可知12×2a×2b=4,即ab=2.解方程组{a=2b,ab=2,得{a=2,b=1.所以椭圆的方程为x24+y2=1.4
