课时作业(十四)第14讲第3课时导数与不等式基础热身1.(12分)[2017·海口模拟]已知函数f(x)=2lnx-3x2-11x.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若关于x的不等式f(x)≤(a-3)x2+(2a-13)x-2恒成立,求整数a的最小值.2.(12分)[2017·西安长安一中质检]设函数f(x)=ax2-xlnx-(2a-1)x+a-1(a∈R).(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点P(e,f(e))处的切线方程;(2)若对任意的x∈[1,+∞),函数f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.能力提升3.(12分)[2017·唐山二模]已知函数f(x)=lnx+-1的图像与x轴相切.(1)求证:f(x)≤;(2)若1
.4.(12分)[2017·济南平阴一中月考]已知函数f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若f(x)≤0恒成立,试确定实数k的取值范围;(3)证明:+++…+<(n∈N*且n>1).5.(12分)[2017·南充一模]设函数f(x)=a(x+1)2ln(x+1)+bx(x>-1),曲线y=f(x)过点(e-1,e2-e+1),且在点(0,0)处的切线方程为y=0.(1)求a,b的值;(2)证明:当x≥0时,f(x)≥x2;(3)若当x≥0时,f(x)≥mx2恒成立,求实数m的取值范围.难点突破6.(12分)[2017·哈尔滨师范大学附属中学三模]已知f(x)=e2x+ln(x+a).(1)当a=1时,①求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;②当x≥0时,求证:f(x)≥(x+1)2+x.(2)若存在x0∈[0,+∞),使得f(x0)<2ln(x0+a)+成立,求实数a的取值范围.第3课时1.解:(1) f'(x)=-6x-11,f'(1)=-15,f(1)=-14,∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(-14)=-15(x-1),即15x+y-1=0.(2)关于x的不等式f(x)≤(a-3)x2+(2a-13)x-2恒成立⇒2lnx-ax2-2ax+2x+2≤0恒成立.令h(x)=2lnx-ax2-2ax+2x+2(x>0),则h'(x)=-2ax-2a+2=(x>0).当a≤0时,h'(x)>0恒成立,h(x)在(0,+∞)上单调递增,且当x→+∞时,h(x)→+∞,不符合题意.当a>0时,若x∈0,,则h'(x)>0,若x∈,+∞,则h'(x)<0,故h(x)在0,上单调递增,在,+∞上单调递减,h(x)max=h=-2lna+≤0.令g(a)=-2lna+,则g(a)在(0,+∞)上单调递减,又g(1)=1>0,g(2)=-2ln2<0,∴当a≥2时,g(a)<0恒成立.∴整数a的最小值为2.2.解:(1)当a=0时,f(x)=-xlnx+x-1,由f'(x)=-lnx,得f'(e)=-1,f(e)=-1,∴曲线y=f(x)在点P(e,f(e))处的切线方程为y+1=-(x-e),即x+y+1-e=0.(2)f'(x)=2ax-1-lnx-(2a-1)=2a(x-1)-lnx,易知当x∈[1,+∞)时,lnx≤x-1,则f'(x)≥2a(x-1)-(x-1)=(2a-1)(x-1).当2a-1≥0,即a≥时,由x∈[1,+∞)得f'(x)≥0恒成立,f(x)在[1,+∞)上单调递增,f(x)≥f(1)=0,符合题意.当a≤0时,由x∈[1,+∞)得f'(x)≤0恒成立,f(x)在[1,+∞)上单调递减,f(x)≤f(1)=0,显然不合题意,a≤0舍去.当01.当x∈1,时,f'(x)≤0恒成立,∴f(x)在1,上单调递减,∴当x∈1,时,f(x)≤f(1)=0,显然不合题意,00,h(x)单调递增;当x>1时,h'(x)<0,h(x)单调递减.所以h(x)≤h(1)=0,即lnx≤x-1,(*)所以f(x)≤.(2)设g(x)=(b-1)logbx-,则g'(x)=-x=,由g'(x)=0,得x=,记为t.由(*)式可得,当x>1时,lnx1;以代换x可得ln<-1,有lnx>,即1时,有10,g(x)单调递增;当t0,即(b-1)logbx>.4.解:(1) f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1,∴f'(x)=-k,x>1.∴当k≤0时,f'(x)=-k>0,f(x)在(1,+∞)上是增函数;当k>0时,令f'(x)>0,得11+,∴f(x)在1,1+上是增函数,在1+,+∞上是减函数.(2) f(x)≤0恒成立,∴∀x>1,ln(x-1)-k(x-1)+1≤0,∴∀x>1,ln(x-1)≤k(x-1)-1,∴k>0.由(1)知,当k>0时,f(x)max=f1+=-lnk≤0,解得k≥1.故实数k的取值范围是[1,+∞).(3)证明:令k=1,则由(2)知,ln(x-1)≤x-2对任意x∈(1,+∞)恒成立,即lnx≤x-1对任意x∈(0,+∞)恒成立.取x=n2,则2lnn≤n2-1,即<,n≥2,∴+++…+<(n∈N*且n>1).5.解:(1)f'(x)=2a(x+1)ln(x+1)+a(x+1)+b, f'(0)=a+b=0,f(e-1)=ae2+b(e-1)=a(e2-e+1)=e2-e+1,∴a=1,b=-1.(2)证明:f(x)=(x+1)2ln(x+1)-x,设g(x)=(x+1)2ln(x+1)-x-x2(x≥0),则g'(x)=2(x+1)ln(x+1)-x.令...
