3.2.3直线与平面的夹角[A基础达标]1．平面α的斜线l与它在这个平面上射影l′的方向向量分别为a＝(1，0，1)，b＝(0，1，1)，则斜线l与平面α所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选C．因为直线与平面所成角的范围是，所以l与α所成的角为a与b所成的角(或其补角)，因为cos〈a，b〉＝＝，所以〈a，b〉＝60°.2．若PA，PB，PC为不在同一个平面内的三条射线，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝60°，则PA与平面PBC所成角的余弦值为()A．B．C．D．解析：选C．利用公式cosθ＝cosθ1·cosθ2求解．关键在于确定PA在平面PBC内的射影，如图，设M∈PA，作MH⊥平面BPC于H，连接PH.则∠APH就是PA与平面PBC所成的角．易知PH是∠BPC的平分线，由公式，得cos∠APC＝cos∠APH·cos∠HPC，所以cos∠APH＝＝.3．正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A．B．C．D．解析：选D．BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角，在三棱锥DACD1中，由三条侧棱两两垂直得点D在底面ACD1内的射影为等边三角形ACD1的垂心即中心H，连接D1H，DH，则∠DD1H为DD1与平面ACD1所成的角，设正方体棱长为a，则cos∠DD1H＝＝，故选D．4．AB⊥平面α于B，BC为AC在α内的射影，CD在α内，若∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，则AC和平面α所成的角为()A．90°B．60°C．45°D．30°解析：选C．设AC和平面α所成的角为θ，则cos60°＝cosθcos45°，故cosθ＝，所以θ＝45°.5.如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点，则BD与平面ADMN所成的角θ为()1A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选A．如图所示，建立空间直角坐标系，设BC＝1，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，则N(1，0，1)，所以BD＝(－2，2，0)，AD＝(0，2，0)，AN＝(1，0，1)，设平面ADMN的一个法向量为n＝(x，y，z)，则由得，取x＝1，则z＝－1，所以n＝(1，0，－1)．因为cos〈BD，n〉＝＝＝－，又0°≤θ≤90°，所以sinθ＝|cos〈BD，n〉|＝.所以θ＝30°.6．在正方体ABCDA1B1C1D1中，BD1与平面A1B1C1D1所成角的正切值为________．解析：连接B1D1，所以B1D1为BD1在平面A1B1C1D1内的射影，所以∠BD1B1为BD1与平面A1B1C1D1所成的角，设正方体棱长为a，则tan∠BD1B1＝＝.答案：7．已知平面α的一个法向量为n＝(1，－1，0)，则y轴与平面α所成的角的大小为________．解析：y轴的一个方向向量s＝(0，1，0)，cos〈n，s〉＝＝－，即y轴与平面α所成角的正弦值是，故其所成的角的大小是.答案：8．已知空间四边形ABCD各边和对角线的长都相等，那么AC与平面BCD所成角的正弦值为________．解析：过A作面BCD的垂线，垂足为O，则O为△BCD的中心，连接CO(图略)．设棱长为1，则CO＝，所以cos∠ACO＝＝，sin∠ACO＝.答案：9．已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面是边长为a的菱形，O为菱形ABCD的中心．∠BAD2＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，AA1＝a.求证：A1O⊥平面ABCD.证明：因为菱形ABCD的边长为a，且∠BAD＝60°，所以AC为∠BAD的平分线，且AO＝a，又∠A1AB＝∠A1AD，所以A1A在平面ABCD上的射影为AC，记∠A1AC＝θ.则cosθ＝＝＝.所以A1Acosθ＝a×＝a＝AO，所以∠A1OA＝90°，又因为A1B＝A1D，所以在△A1BD中A1O⊥BD.所以A1O⊥平面ABCD.10．正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，a，0),A1(0，0，a)，C1(－a，，a)，AB＝(0，a，0)，AA1＝(0，0，a)，AC1＝，设侧面ABB1A1的法向量n＝(λ，x，y)，所以n·AB＝0且n·AA1＝0.所以ax＝0且ay＝0.所以x＝y＝0.故n＝(λ，0，0)．所以cos〈AC1，n〉＝＝－.所以|cos〈AC1，n〉|＝.所以AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.[B能力提升]11．正方体ABCDA1B1C1D1中，O为侧面BCC1B1的中心，则AO与平面ABCD所成角的正弦值为()A．B．C．D．解析：选C．以D为原点，DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，令AB＝2，则A(2，0，0)，O(1，2，1)，所以AO＝(－1，2，1)．又DD1＝(0，0，2)为平面ABCD的法向量，设AO与平面ABCD所...
