课时分层作业(十四)空间向量及其加减运算空间向量的数乘运算(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是()①任一向量与它的相反向量不相等；②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若a≠b，则|a|≠|b|；⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A．0B．1C．2D．3B[因为零向量与它的相反向量相等，所以①不正确；根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，②正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，③不正确；当a＝－b时，也有|a|＝|b|，④不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，⑤不正确．综上可知只有②正确，故选B．]2．对于空间中任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是()A．共面向量B．共线向量C．不共面向量D．既不共线也不共面向量A[由共面向量定理易得答案A．]3．空间任意四个点A，B，C，D，则DA＋CD－CB等于()A．DBB．ACC．ABD．BAD[DA＋CD－CB＝DA＋BD＝BA.]4．A，B，C不共线，对空间任意一点O，若OP＝OA＋OB＋OC，则P，A，B，C四点()A．不共面B．共面C．不一定共面D．无法判断B[ ＋＋＝1，∴点P，A，B，C四点共面．]5．已知在长方形ABCDA1B1C1D1中，点E是A1C1的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝EF，则AF＝()【导学号：46342134】A．AA1＋AB＋ADB．AA1＋AB＋ADC．AA1＋AB＋ADD．AA1＋AB＋ADD[如图所示，AF＝AE，AE＝AA1＋A1E，A1E＝A1C1，A1C1＝A1B1＋A1D1，A1B1＝AB，A1D1＝AD，所以AF＝AA1＋A1C1＝AA1＋AB＋AD，故选D．]1二、填空题6．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝________.－8[由已知可得：BD＝CD－CB＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2， A，B，D三点共线，∴AB与BD共线，即存在λ∈R使得AB＝λBD.∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2， e1，e2不共线，∴解得k＝－8.]7．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由OP＝OA＋OB＋λOC确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝________.【导学号：46342135】[根据P，A，B，C四点共面的条件，知存在实数x，y，z，使得OP＝xOA＋yOB＋zOC成立，其中x＋y＋z＝1，于是＋＋λ＝1，所以λ＝.]8．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则EF和AD＋BC的关系是________．(填“平行”、“相等”或“相反”)平行[设G是AC的中点，则EF＝EG＋GF＝BC＋AD＝(AD＋BC)从而EF∥(AD＋BC)．]三、解答题9．已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点．求下列各式中x，y的值．(1)OQ＝PQ＋xPC＋yPA；(2)PA＝xPO＋yPQ＋PD.[解]如图所示，(1) OQ＝PQ－PO＝PQ－(PA＋PC)＝PQ－PA－PC，∴x＝y＝－.(2) PA＋PC＝2PO，∴PA＝2PO－PC.又 PC＋PD＝2PQ，∴PC＝2PQ－PD.从而有PA＝2PO－(2PQ－PD)＝2PO－2PQ＋PD.∴x＝2，y＝－2.10．在长方体ABCDA1B1C1D1中，M为DD1的中点，点N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1N与A1B，A1M共面.【导学号：46342136】[证明] A1B＝AB－AA1，A1M＝A1D1＋D1M＝AD－AA1，2AN＝AC＝(AB＋AD)，∴A1N＝AN－AA1＝(AB＋AD)－AA1＝(AB－AA1)＋(AD－AA1)＝A1B＋A1M，∴A1N与A1B，A1M共面．[能力提升练]1．如图3111所示，已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC内一定点，O为平面ABC外任一点，则下列能表示向量OP的为()图3111A．OA＋2AB＋2ACB．OA－3AB－2ACC．OA＋3AB－2ACD．OA＋2AB－3ACC[因为A，B，C，P四点共面，所以可设AP＝xAB＋yAC，即OP＝OA＋xAB＋yAC，由图可知x＝3，y＝－2，故选C．]2．如图3112是一平行六面体ABCDA1B1C1D1，E为BC延长线上一点，BC＝2CE，则D1E＝()图3112A．AB＋AD＋AA1B．AB＋AD－AA1C．AB＋AD－AA1D．AB＋AD－AA1B[取BC的中点F，连接A1F，则A1D1\s\do5(═)FE，所以四边形A1D1EF是平行四边形，所以A1F\s\do5(═)D1E，所以A1F＝D1E.又A1F＝A1A＋AB＋BF＝－AA1＋AB＋AD，所以D1E＝AB＋AD－AA1，故选B．]3．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的...
