课时作业17反证法时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是(D)①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾．A．①②B．①③C．①③④D．①②③④2．否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为(D)A．a，b，c都是偶数B．a，b，c都是奇数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数”．3．用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少有一个大于等于60°”时，反设正确的是(A)A．三个内角都小于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角中至多有一个大于60°D．三个内角中至多有两个大于60°解析：“至少有一个”的否定是“一个都没有”，则反设为“三个内角都小于60°”．4．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ac>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的反设为(C)A．a<0，b<0，c<0B．a≤0，b>0，c>0C．a、b、c不全是正数D．abc<05．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为(B)A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．6．设a、b、c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋(D)A．都大于2B．至少有一个大于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2解析：假设a＋，b＋，c＋都小于2，则(a＋)＋(b＋)＋(c＋)<6.又(a＋)＋(b＋)＋(c＋)＝(a＋)＋(b＋)＋(c＋)≥6，矛盾．故三个数中至少有一个不小于2.17．设a、b均为正整数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的是(C)A.＋<1B.＋≤1C.＋≤2D.＋≥2解析：假设A正确．依题意可取a＝1，b＝2，则＋＝1＋＝>1，与＋<1矛盾，故A不正确．同理可推出B、D不正确，故选C.二、填空题8．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是存在一个三角形，其外角最多有一个钝角．9．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设x＝a或x＝b.10．若方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[－1，＋∞)．三、解答题11．已知x，y∈R，且x＋y>2，证明：x，y中至少有一个大于1.证明：假设x，y都不大于1，即x≤1，y≤1，则x＋y≤2，这与已知条件x＋y>2矛盾，所以假设不成立，故x，y中至少有一个大于1.12．设a、b、c均为奇数，求证：方程ax2＋bx＋c＝0无整数根．证明：假设方程有整数根x＝x0，x0∈Z，则ax＋bx0＋c＝0，c＝－(ax＋bx0)．①若x0为偶数，则ax与bx0均为偶数，所以ax＋bx0为偶数，从而c为偶数，与题设矛盾．②若x0为奇数，则ax与bx0均为奇数，所以ax＋bx0为偶数，从而c为偶数，与题设矛盾．综上所述，方程ax2＋bx＋c＝0没有整数根．——能力提升类——13．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是甲．解析：假如甲：我没偷是真的，乙：丙是小偷；丙：丁是小偷是假的；丁：我没有偷就是真的，与他们四人中有一人说真话矛盾．假如甲：我没有偷是假的，那么丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷，丙：丁是小偷是假的，成立．∴可以判断偷珠宝的人是甲．14．设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明：{cn}不是等比数列．证明：假设{cn}是等比数列，则当n≥2时，(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)·(an＋1＋bn＋1)．所以a＋2anbn＋b＝an－1an＋1＋an－1·bn＋1＋bn－1an＋1＋bn－1bn＋1.设{an}，{bn}的公比分别为p，q(p≠q)．因为a＝an－1·an＋1，b＝bn－1·bn＋1，所以2anbn＝an－1bn＋1＋bn－1an＋1＝·bn·q＋·an·p，所以2＝＋，所以当p≠q时，＋>2或＋≤2与＋＝2矛盾，所以{cn}不是等比数列．2
