思想3.4等价转换一．选择题1.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是()A．B．C.D．【答案】C2.【广东省珠海市2018届3月质量检测】定义在上的连续函数，其导函数为奇函数，且，；当时，恒成立，则满足不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】因为其导函数为奇函数，所以原函数是偶函数，因为当时，恒成立，所以，所以函数在x>0时，是减函数，在x<0时，是增函数.因为，所以，所以,，故选D.3.设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当时，.若，则实数的取值范围是()A．B．C.D．【答案】A【解析】 ，设，则，∴为奇函数，又，∴在上是减函数，从而在上是减函数，又等价于，即，∴，解得．4.【东北三省三校2018届高三第一次模拟】底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥.如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的侧面积为，则该半球的体积为()A.B.C.D.【答案】D5.如果直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是（）A．B．C.D．【答案】A【解析】根据指数函数的性质，可知函数恒过定点，将点代入，可得，由于始终落在所给圆的内部或圆上，所以，由，解得或，这说明点在以和为端点的线段上运动，所以的取值范围是.选A.6.【东北三省三校2018届高三第一次模拟】在，，，是边上的两个动点，且，则的取值范围为()A.B.C.D.【答案】A7.【山东省烟台市2018届期末】已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为()A.B.C.D.【答案】B【解析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|， |PA|=m|PB|，∴|PA|=m|PN|∴，设PA的倾斜角为，则，当m取得最大值时，最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴P（2，1），∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2（﹣1），∴双曲线的离心率为．故选B．8.已知中，，则的最大值是()A．B．C.D．【答案】A9.已知函数，（是常数），若在上单调递减，则下列结论中：①；②；③有最小值.正确结论的个数为（）A．0B．1C.2D．3【答案】C10.若方程有四个不同的实数根，且，则的取值范围是（）A．B．C.D．【答案】B【解析】方程有四个不同的实数根,在同一坐标系内作出函数与函数的图象如下图所示，所以是方程的两根，是方程的两根，由求根公式得，且，所以，令，由得，函数在区间递增，在区间递减，又，所以所求函数的取值范围是，故选B.二、填空题11.【辽宁省朝阳市2018届一模】抛物线：（）的准线与轴的交点为，过点作的两条切线，切点分别为，，则__________．【答案】12.已知△的一个内角为，并且三边长构成公差为2的等差数列，则△的面积等于．【答案】【解析】设最小边为，则由余弦定理得，解得，所以△的面积等于13.【山东省菏泽市2018届一模】已知等差数列前项和为，且，若满足不等式的正整数有且仅有3个，则实数的取值范围为__________.【答案】14.函数，的定义域都是，直线（），与，的图象分别交于，两点，若的值是不等于的常数，则称曲线，为“平行曲线”，设（，），且，为区间的“平行曲线”，，在区间上的零点唯一，则的取值范围是．【答案】.【解析】在为，为区间的“平行曲线”，所以函数是由函数的图象经过上下平移得到的，即，又，所以，即，得，则在区间上有唯一零点等价于函数与函数有唯一交点，，当时，，函数在区间上单调递增，所以函数与函数有唯一交点等价于，即，即的取值范围是.三、解答题15.在中,角、、所对的边分别为、、，角、、的度数成等差数列，.（1）若，求的值；（2）求的最大值.【解析】(1)由角的度数成等差数列，得.又.由正弦定理，得,即.由余弦定理，得,即，解得.(2)由正弦定理，得.由，得.所以当，即时，.16.设等差数列的前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）若不等式对所有的正整数都成立，求实数的取值范围.17.【江西省2018届六校联考】已知分别是椭圆C:的左、右焦点，其中右焦点为抛物线的焦点，点在椭圆C上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设与...
