高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 三 排序不等式练习 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

三排序不等式,[学生用书P49])[A基础达标]1．设正实数a1，a2，a3的任一排列为a′1，a′2，a′3，则＋＋的最小值为()A．3B．6C．9D．12解析：选A.设a1≥a2≥a3>0，则≥≥>0，由排序不等式可知＋＋≥＋＋＝3.当且仅当a′1＝a1，a′2＝a2，a′3＝a3时等号成立．2．某学校举行投篮比赛，按规则每个班级派三人参赛，第一人投m分钟，第二人投n分钟，第三人投p分钟．某班级三名运动员A，B，C每分钟能投进的次数分别为a，b，c，已知m＞n＞p，a＞b＞c，如何派三人上场能取得最佳成绩？()A．A第一，B第二，C第三B．B第一，A第二，C第三C．C第一，B第二，A第三D．A第一，C第二，B第三解析：选A.因为m＞n＞p，a＞b＞c，且由排序不等式知顺序和为最大值，所以最大值为ma＋nb＋pc，此时分数最高．所以，三人上场顺序是A第一，B第二，C第三．3．若A＝x＋x＋…＋x，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正数，则A与B的大小关系为()A．A＞BB．A＜BC．A≥BD．A≤B解析：选C.因为序列{xn}的各项都是正数，不妨设0＜x1≤x2≤…≤xn，则x2，x3，…，xn，x1为序列{xn}的一个排列．由排序原理，得x1x1＋x2x2＋…＋xnxn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1，即x＋x＋…＋x≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1.故选C.4．车间里有5台机床同时出了故障，从第1台到第5台的修复时间依次为4min，8min，6min，10min，5min，每台机床停产1min损失5元，经合理安排损失最少为()A．420元B．400元C．450元D．570元解析：选A.停产总时间是5t1＋4t2＋3t3＋2t4＋t5.由排序不等式得，当t1＜t2＜t3＜t4＜t5时，总时间取最小值．1所以，总时间最小值为5×4＋4×5＋3×6＋2×8＋10＝84，即损失最少为84×5＝420(元)．5．已知a，b，c为正实数，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)()A．大于零B．大于等于零C．小于零D．小于等于零解析：选B.设a≥b≥c＞0，所以a3≥b3≥c3.根据排序原理，得a3×a＋b3×b＋c3×c≥a3b＋b3c＋c3a.又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab，所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.6．如图所示，矩形OPAQ中，a1≤a2，b1≤b2，则阴影部分的矩形的面积之和________空白部分的矩形的面积之和．(填“≥”“≤”或“＝”)解析：阴影面积为a1b1＋a2b2，而空白面积为a1b2＋a2b1.根据顺序和≥反序和可知答案．答案：≥7．已知在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＜b＜c.若M＝acosC＋bcosB＋ccosA，N＝acosB＋bcosC＋ccosA，则M与N的大小关系是________．解析：因为锐角三角形ABC中，a＜b＜c，所以A＜B＜C＜90°，所以cosA＞cosB＞cosC，由排序不等式可知M＞N.答案：M＞N8．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件和2件．现在选择商店中单价分别为3元，2元和1元的礼品，则至少要花________元，最多要花________元．解析：两组数2件、4件、5件与1元、2元、3元的反序和S1＝2×3＋4×2＋5×1＝19(元)．顺序和S2＝2×1＋4×2＋5×3＝25(元)．根据排序原理可知至少花19元，最多花25元．答案：19259．已知a，b，c为正数，用排序不等式证明：2(a3＋b3＋c3)≥a2(b＋c)＋b2(c＋a)＋c2(a＋b)．2证明：设正数a，b，c满足a≤b≤c，则a2≤b2≤c2，由排序不等式得，a2b＋b2c＋c2a≤a3＋b3＋c3，a2c＋b2a＋c2b≤a3＋b3＋c3，两式相加，得：2(a3＋b3＋c3)≥a2(b＋c)＋b2(c＋a)＋c2(a＋b)．10．已知x，y，z都是正数，且x＋y＋z＝1，求＋＋的最小值．解：不妨设x≥y≥z＞0，则≥≥＞0，且x2≥y2≥z2＞0，由排序不等式，得＋＋≥·z2＋·y2＋·x2＝x＋y＋z.又x＋y＋z＝1，所以＋＋≥1，当且仅当x＝y＝z＝时，等号成立．则＋＋的最小值为1.[B能力提升]1．在锐角三角形中，设P＝，Q＝acosC＋bcosB＋ccosA，则P，Q的关系为________．解析：不妨设A≥B≥C，则a≥b≥c，cosA≤cosB≤cosC，则由排序不等式有Q＝acosC＋bcosB＋ccosA≥acosB＋bcosC＋ccosA＝R(2sinAcosB＋2sinBcosC＋2sinCcosA)≥R[sin(A＋B)＋sin(B＋C)＋sin(A＋C)]＝R(sinC＋sinA＋sinB)＝P＝(R为锐角三角形ABC外接圆的半径)．答案：P≤Q2．一般地，对于n个正数a1，a2，...