课时作业(八)空间中的距离一、选择题1．已知直线l过定点A(2,3,1)，且n＝(0,1,1)为其一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线l的距离为()A.B.C.D.2．在△ABC中，AB＝15，∠BCA＝120°，若△ABC所在平面α外一点P到A，B，C的距离都是14，则P到α的距离是()A．13B．11C．9D．73．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为()A.aB.aC.aD.a4．已知棱长为1的正方体ABCD－EFGH，若点P在正方体内部且满足AP＝AB＋AD＋AE，则点P到AB的距离为()A.B.C.D.二、填空题5．已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的棱长都等于2，且两两夹角都是60°，则A，C1两点间的距离是________．6．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为________．6题图7题图7．如图所示，在底面是直角梯形的四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．三、解答题8.已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱A1A＝5，AB＝12，求直线B1C1和平面A1BCD1的距离．19．四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点．(1)求证：DE∥平面PFB；(2)求点E到平面PFB的距离．[尖子生题库]10.如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD＝90°，且PA＝AD＝2，E，F分别是线段PA，PD的中点．问：线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离为？若存在，求出CQ的值；若不存在，请说明理由．课时作业(八)空间中的距离1．解析：PA＝(－2,0，－1)，|PA|＝，＝，则点P到直线l的距离d＝＝＝.答案：A2．解析：作PO⊥α于点O，连接OA、OB、OC(图略)， PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心．∴OA＝＝＝5，∴PO＝＝11为所求．2答案：B3．解析：由正方体的性质，易得平面AB1D1∥平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离．以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，A1(a,0，a)，C(0，a,0)，CA1＝(a，－a，a)，BA＝(0，－a,0)，连接A1C，由A1C⊥平面AB1D1，得平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1,1)，则两平面间的距离d＝＝＝a.答案：D4．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则AP＝(1,0,0)＋(0,1,0)＋(0,0,1)＝.又AB＝(1,0,0)，∴AP在AB上的投影为＝，∴点P到AB的距离为＝.答案：A5．解析：设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，易得AC1＝a＋b＋c，则|AC1|2＝AC1·AC1＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c)＝a2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＋b2＋c2＝4＋4＋4＋4＋4＋4＝24，所以|AC1|＝2.答案：26．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，则C1A＝，C1B1＝(0,1,0)，C1B＝(0,1，－1)．设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y,1)，则有解得n＝，则所求距离为＝＝.答案：7．解析：由已知，得AB，AD，AP两两垂直．∴以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，PB＝(2,0，－2)，BC＝(0,2,0)，设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)，则，即，∴可取n＝(1,0,1)．又AB＝(2,0,0)，AD∥平面PBC，∴所求距离为＝.答案：38．解析： B1C1∥BC，且B1C1⊄平面A1BCD1，BC⊂平面A1BCD1，∴B1C1∥平面A1BCD1.从而点B1到平面A1BCD1的距离即为所求．过点B1作B1E⊥A1B于E点． BC⊥平面A1ABB1，且B1E⊂平面A1ABB1，∴BC⊥B1E.又BC∩A1B＝B.∴B1E⊥平面A1BCD1，∴线段B1E的长即为所求．在Rt△A1B1B中，B1E＝＝＝.因此直线B1C1和平面A1BCD1的距离是.9．解析：(1)证明：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,2)，F(1,0,0)，B(2,2,0)，E(0,1,1)．FP＝(－1,0,2)，FB＝(1,2,0)，DE＝(0,1,1)，所以DE＝FP＋FB，又因为DE⊄平面PFB，所以DE∥平面PFB.(2)因为DE∥平面PFB，所以点E到平面PFB的距离等于点D到平面PFB的距离．设平面PFB的一个法向量n＝(x，y，z)，则⇒令x＝2，得y＝－1，z＝1，所以n＝(2，－1,1)．又因为FD＝(－1,0,0)，所以点D到平面PFB的距离d＝＝＝.所以点E到平面PFB...
