5-5数列的综合应用课时规范练A组基础对点练1．(2018·东北三省四市模拟)等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列{an}的前9项和是(C)A．9B.10C．81D.902．(2018·福建质量检测)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n＋1＋λ，则λ＝(A)A．－2B.－1C．1D.2解析：当n＝1时，a1＝S1＝4＋λ；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1＋λ－(2n＋λ)＝2n，此时＝＝2.当n＝2时，a2＝22＝4，所以＝＝2，解得λ＝－2.故选A.3．已知数列{an}，定直线l：y＝x－，若(n，an)在直线l上，则数列{an}的前13项和为(C)A．10B.21C．39D.784．等差数列{an}中的a4，a2016是函数f(x)＝x3－6x2＋4x－1的极值点，则loga1010＝(D)A.B.2C．－2D.－解析： f(x)＝x3－6x2＋4x－1，∴f′(x)＝3x2－12x＋4. a4，a2016是函数f(x)＝x3－6x2＋4x－1的极值点，∴a4，a2016是f′(x)＝3x2－12x＋4＝0的两根．∴a4＋a2016＝4. a4，a1010，a2016成等差数列，∴2a1010＝a4＋a2016＝4，∴a1010＝2，∴loga1010＝－.5．已知an＝(n∈N*)，数列{an}的前n项和为Sn，则使Sn>0的n的最小值为(C)A．99B.100C．101D.1026．已知在等差数列{an}中，a1＝120，公差d＝－4，若Sn≤an(n≥2)，其中Sn为数列{an}的前n项和，则n的最小值为(B)A．60B.62C．70D.72解析：Sn＝120n＋×(－4)＝－2n2＋122n，an＝120－4(n－1)＝－4n＋124，因为Sn≤an，所以－2n2＋122n≤－4n＋124，化简得n2－63n＋62≥0，即(n－1)(n－62)≥0，解得n≥62或n≤1(与n≥2矛盾，舍去)．所以n的最小值为62.故选B.7．(2018·新疆检测)等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，且a1＝b1＝1，a4＝b4＝－8，则＝－.解析：设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，因为a1＝1，a4＝－8，所以a4－a1＝3d＝－9，所以d＝－3.因为b1＝1，b4＝－8，所以＝q3＝－8，所以q＝－2.则S5＝＝5a3＝5(a4－d)＝－25，T5＝＝＝11，所以＝－.8．(2018·沈阳质量监测)在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝3an－2an－1(n≥2)，则an＝__2n－1__.解析：因为an＋1＝3an－2an－1(n≥2)，所以＝2(n≥2)，所以an＋1－an＝(a2－a1)2n－1＝2n－1(n≥2)．又a2－a1＝1，所以an－an－1＝2n－2，an－1－an－2＝2n－3，…，a2－a1＝1，累加得an＝2n－1(n∈N*)．9．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S1，S3，S4成等差数列，则数列{an}的公比为.10．已知函数y＝f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)>1，且对任意的实数x，y∈R，等式f(x)f(y)＝f(x＋y)恒成立．若数列{an}满足a1＝f(0)，且f(an＋1)＝(n∈N*)，则a2016的值为__4_031__.解析：根据题意，不妨设f(x)＝x(其中x∈R)，则a1＝f(0)＝1， f(an＋1)＝(n∈N*)，∴an＋1＝an＋2.∴数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴an＝2n－1，∴a2016＝4031.11．(2016·高考四川卷)已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.(1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；(2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝2，求e＋e＋…＋e.解析：(1)由Sn＋1＝qSn＋1，得Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减，得an＋2＝qan＋1，n≥1.又由S2＝qS1＋1，得a2＝qa1，故an＋1＝qan对所有n≥1都成立．所以数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列．从而an＝qn－1.由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得2a3＝a2＋a2＋a3，所以a3＝2a2，故q＝2，所以an＝2n－1(n∈N*)．(2)由(1)可知，an＝qn－1.所以双曲线x2－＝1的离心率en＝＝.由e2＝＝2，解得q＝.所以e＋e＋…＋e＝(1＋1)＋(1＋q2)＋…＋[1＋q2(n－1)]＝n＋[1＋q2＋…＋q2(n－1)]＝n＋＝n＋(3n－1)．12．(2018·成都检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，S4＝16，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解析：(1)设数列{an}的公差为d，因为a2＝3，S4＝16，所以a1＋d＝3,4a1＋6d＝16，解得d＝2，a1＝1，所以an＝2n－1.(2)由题意，得bn＝＝，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝＝.B组能力提升练1．设函数f(x)＝(x－3)3＋x－1，{an}是公差不为0的等差数列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a7)＝14，则a1＋a2＋…＋a7＝(D)A．0B.7C．14D.21解...
