章末综合测评(三)空间向量与立体几何(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)1．已知空间直角坐标系中有点A(－2,1,3)，B(3,1,0)，则|AB|＝________.【解析】 AB＝(5,0，－3)，∴|AB|＝＝.【答案】2．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a与b为共线向量，则x＝________，y＝________.【解析】由题意得＝＝，∴x＝，y＝－.【答案】－3．下列有关空间向量的四个命题中，错误命题为________．①空间中有无数多组不共面的向量可作为向量的基底；②向量与平面平行，则向量所在的直线与平面平行；③平面α的法向量垂直于α内的每个向量；④空间中的任一非零向量都可惟一地表示成空间中不共面向量的线性组合的形式．【解析】若向量与平面平行，则向量所在的直线与平面平行或在平面内，故②错误．【答案】②4．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝________.【解析】由已知得，＝＝，∴8＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝.【答案】－2或5．△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0，)，B，C(－1,0，)，则角A的大小为________．【解析】AB＝，AC＝(－1,0,0)，则cosA＝＝＝，故角A的大小为30°.【答案】30°6．已知正方体ABCDA1B1C1D1的中心为O，则下列各命题中，真命题是________．①OA＋OD与OB1＋OC1是一对相反向量；②OB－OC与OA1－OD1是一对相反向量；③OA＋OB＋OC＋OD与OA1＋OB1＋OC1＋OD1是一对相反向量；④OA1－OA与OC－OC1是一对相反向量．【解析】① 四边形ADC1B1为平行四边形，O为对角线交点，∴OA＋OD与OB1＋OC1是一对相反向量，∴①真；② OB－OC＝CB，OA1－OD1＝D1A1，CB＝D1A1，∴OB－OC＝OA1－OD1，∴②假；③如图，设正方形ABCD的中心为O1，正方形A1B1C1D1的中心为O2，则OA＋OB＋OC＋OD＝4OO1，OA1＋OB1＋OC1＋OD1＝4OO2， OO1与OO2是相反向量，∴③真；④OA1－OA＝AA1，OC－OC1＝C1C， AA1与C1C是相反向量，∴④真．【答案】①③④7．在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，－2,3)，B(2,1，－1)，若直线AB交平面xOz于点C，则点C的坐标为________．【解析】设点C的坐标为(x,0，z)，则AC＝(x－1,2，z－3)，AB＝(1,3，－4)，因为AC与1AB共线，所以＝＝，解得所以点C的坐标为.【答案】8．二面角αlβ等于120°，A，B是棱l上两点，AC，BD分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于________．【解析】设BD＝a，AB＝b，AC＝c，由已知条件，|a|＝1，|b|＝1，|c|＝1，〈a，b〉＝90°，〈b，c〉＝90°，〈a，c〉＝120°.|CD|2＝|CA＋AB＋BD|2＝|－c＋b＋a|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c＝4，则|CD|＝2.【答案】29．已知点A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当QA·QB取最小值时，点Q的坐标为________.【导学号：09390091】【解析】由题意可知OQ＝λOP，故可设Q(λ，λ，2λ)，则QA·QB＝6λ2－16λ＋10＝62－，∴当λ＝时，QA·QB取得最小值，此时点Q的坐标为.【答案】10．在空间中，已知平面α过点A(3,0,0)和B(0,4,0)及z轴上一点C(0,0，a)(a>0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________.【解析】平面xOy的法向量为n＝(0,0,1)，AB＝(－3，4,0)，AC＝(－3,0，a)，设平面α的法向量为u＝(x，y，z)，则则3x＝4y＝az，取z＝1，则u＝，故cos〈n，u〉＝＝.又 a>0，∴a＝.【答案】11．空间四边形ABCD中，连结AC，BD，若△BCD是正三角形，且E为其中心，则AB＋BC－DE－AD的化简结果是________．【解析】如图，延长DE交BC于F，易知F是BC中点，则AB＋BC－DE－AD＝AB－AD＋BF－·DF＝DB＋BF－DF＝DB＋BF＋FD＝DF＋FD＝0.【答案】012．已知动点P是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的体对角线BD1上一点，记＝λ.当∠APC为钝角时，则λ的取值范围为________．【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，所以D1B＝(1,1，－1)，由题意，可设D1P＝λD1B＝(λ，λ，－λ)，连结D1A，D1C，则D1A＝(1,0，－1)，D1C＝(0,1，－1)，所以PA＝PD1＋D1A＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，PC＝PD1＋D1C...
