课时跟踪检测（二十二）简单的三角恒等变换一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2015·济南一模)若＝－，则sinα＋cosα的值为________．解析：由已知得＝＝－，整理得sinα＋cosα＝.答案：2．已知sin2α＝，tan(α－β)＝，则tan(α＋β)等于________．解析：由题意，可得cos2α＝－，则tan2α＝－，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝＝－2.答案：－23．(2016·苏州中学月考)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则sin的值为________．解析：由三角函数的定义得tanθ＝2，cosθ＝±，所以tan2θ＝＝－，cos2θ＝2cos2θ－1＝－，所以sin2θ＝cos2θtan2θ＝，所以sin＝(sin2θ＋cos2θ)＝×＝.答案：4．已知tan(3π－α)＝2，则＝________.解析：由诱导公式得tan(3π－α)＝－tanα＝2，故＝＝＝－3.答案：－35.的值为________．解析：原式＝＝＝＝＝1.答案：1二保高考，全练题型做到高考达标1．若tanθ＝，则＝________.解析：＝＝tanθ＝.答案：2．已知锐角α满足cos2α＝cos，则sin2α＝________.解析：∵cos2α＝cos，∴cos2α－sin2α＝coscosα＋sinsinα.∵α为锐角，∴cosα－sinα＝，∴sin2α＝.答案：3.的值是________．解析：原式＝＝＝＝.答案：14．(2016·常州调研)在斜三角形ABC中，sinA＝－cosB·cosC，且tanB·tanC＝1－，则角A的值为________．解析：由题意知，sinA＝－cosB·cosC＝sin(B＋C)＝sinB·cosC＋cosB·sinC，在等式－cosB·cosC＝sinB·cosC＋cosB·sinC两边同除以cosB·cosC得tanB＋tanC＝－，又tan(B＋C)＝＝－1＝－tanA，即tanA＝1，所以A＝.答案：5．(2016·成都一诊)若sin2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是________．解析：因为α∈，所以2α∈，又sin2α＝，所以2α∈，α∈，故cos2α＝－.又β∈，所以β－α∈，故cos(β－α)＝－.所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－×－×＝，且α＋β∈，故α＋β＝.答案：6．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanαtanβ＝________.解析：因为cos(α＋β)＝，所以cosαcosβ－sinαsinβ＝.①因为cos(α－β)＝，所以cosαcosβ＋sinαsinβ＝.②①＋②得cosαcosβ＝.②－①得sinαsinβ＝.所以tanαtanβ＝＝.答案：7．(2015·无锡调研)若锐角α，β满足(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，则α＋β＝________.解析：因为(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，所以1＋(tanα＋tanβ)＋3tanαtanβ＝4，即(tanα＋tanβ)＝3－3tanαtanβ＝3(1－tanαtanβ)，即tanα＋tanβ＝(1－tanαtanβ)．∴tan(α＋β)＝＝.又∵α，β为锐角，∴α＋β＝.答案：8.＝________.解析：原式＝＝＝＝＝＝－4.2答案：－49．已知tanα＝－，cosβ＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解：由cosβ＝，β∈，得sinβ＝，tanβ＝2.∴tan(α＋β)＝＝＝1.∵α∈，β∈，∴<α＋β<，∴α＋β＝.10．(2016·盐城调研)已知函数f(x)＝Acos，x∈R，且f＝.(1)求A的值；(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．解：(1)因为f＝Acos＝Acos＝A＝，所以A＝2.(2)由f＝2cos＝2cos＝－2sinα＝－，得sinα＝，又α∈，所以cosα＝.由f＝2cos＝2cosβ＝，得cosβ＝，又β∈，所以sinβ＝，所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．cos·cos·cos＝________.解析：cos·cos·cos＝cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－＝－＝－＝－＝－＝－.答案：－2．(2016·连云港质检)已知函数f(x)＝2cos，x∈R.(1)求f(π)的值；(2)若f＝，α∈，求f(2α)的值．解：(1)由已知得f(π)＝2cos＝－2cos＝－2×＝－.(2)因为f＝2cos＝2cos＝－2sinα＝，所以sinα＝－.又α∈，所以cosα＝＝＝.所以sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，cos2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝.故f(2α)＝2cos＝2cos2αcos＋2sin2αsin＝2××＋2××＝.3．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，)．(1)求sin2α－tanα的值；3(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα，求函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域．解：(1)∵角α的终边经过点P(－3，)，∴sinα＝，cosα＝－，tanα＝－.∴sin2α－tanα＝2sinαcosα－tanα＝－＋＝－.(2)∵f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα＝cosx，x∈R，∴g(x)＝cos－2cos2x＝sin2x－1－cos2x＝2sin－1，∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.∴－≤sin≤1，∴－2≤2sin－1≤1，故函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域是[－2,1]．4
