【金版学案】2015-2016学年高中数学第二章圆锥曲线与方程本章小结新人教A版选修2-1求轨迹方程的几种常用方法：(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x、y之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x、y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x、y之间的关系式．(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．例1已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y＝x＋2相切．(1)求a与b；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F1和F2，直线l1过F2且与x轴垂直，动直线l2与y轴垂直，l2交l1于点P.求线段PF1的垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型．解析：(1)由e＝＝＝，得＝.又由原点到直线y＝x＋2的距离等于圆的半径，得b＝，a＝.(2)方法一由c＝＝1得F1(－1，0)，F2(1，0)．设M(x，y)，则P(1，y)．由|MF1|＝|MP|，得(x＋1)2＋y2＝(x－1)2，整理得：y2＝－4x.此轨迹是抛物线．方法二因为点M在线段PF1的垂直平分线上，所以|MF1|＝|MP|，即M到F1的距离等于M到l1的距离．此轨迹是以F1(－1，0)为焦点，l1：x＝1为准线的抛物线，轨迹方程为y2＝－4x.知识点二圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质是圆锥曲线的重点内容，是历年高考的重点．重在考查基础知识、基本思想方法，例如数形结合思想和方程思想等．因此，学习中要能够利用数形结合思想熟练掌握圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质．例2点P是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)和圆x2＋y2＝a2＋b2的一个交点，且2∠PF1F2＝∠PF2F1，其中F1和F2是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为________．解析：由圆x2＋y2＝a2＋b2，得x2＋y2＝c2，因此圆过焦点F1和F2，所以∠F1PF2＝90°.又2∠PF1F2＝∠PF2F1，因此∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°.于是|PF2|＝c，|PF1|＝c，由双曲线的定义，有c－c＝2a，所以e＝＝＝＋1.答案：＋1例3设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，A是椭圆上的一点，AF2⊥F1F2，1原点O到直线AF1的距离为|OF1|.试证明：a＝b.证明：由题设AF2⊥F1F2及F1(－c，0)，F2(c，0)，不妨设点A(c，y)，其中y>0.由于点A在椭圆上，有＋＝1.即＋＝1.解得y＝，从而得A.直线AF1的方程为y＝(x＋c)，整理得b2x－2acy＋b2c＝0.由题设，原点O到直线AF1的距离为|OF1|，即＝.将c2＝a2－b2代入上式并化简得a2＝2b2，即a＝b.知识点三直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题，是解析几何部分综合性最强的问题，也是以往高考的重点和热点问题．2．这部分内容考查的重点在直线与椭圆、抛物线的位置关系和应用数形结合思想解题，降低了对双曲线的考查要求．在今后的高考中，本部分内容仍将成为新高考的重点和热点．例4已知某椭圆的焦点是F1(－4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|＋|F2B|＝10，椭圆上不同的两点A(x1，y1)，C(x2，y2)满足条件：A、B、C的横坐标成等差数列．(1)求该椭圆的方程；(2)设弦AC的垂直平分线的方程为y＝kx＋m，求m的取值范围．解析：(1)由椭圆定义及条件，知2a＝|F1B|＋|F2B|＝10，得a＝5.又c＝4，所以b＝＝3.故椭圆方程为＋＝1.(2)由题意知B点的横坐标为4，设AC的中点坐标为P(x0，y0)，则x0＝＝4.再由A(x1，y1)，C(x2，y2)在椭圆，得①－②，得9(x－x)＋25(y－y)＝0，即9×()＋25()·()＝0(x1≠x2)．将＝x0＝4，＝y0，＝－(k≠0)，代入上式，得9×4＋25y0＝0(k≠0)，即k＝y0(当k＝0时也成立)．由点P(4，y0)在弦AC的垂直平分线上，得y0＝4k＋m，所以m＝y0－4k＝y0－y0＝－y0.由点P(4，y0)在线段BB′(B′与B关于x轴对称)的内部，得－＜y0＜，所以－＜m＜.知识点四圆锥曲线中的最值(范围)问题圆锥曲线中的最值(范围)问题通常...
