高二数学曲线和方程通用版【本讲主要内容】曲线和方程曲线的方程、方程的曲线的概念，求解曲线方程的一般步骤。【知识掌握】【知识点精析】1.曲线的方程、方程的曲线的概念：一般地，在直角坐标系中如果某曲线C（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。（完备性）那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）。2.坐标法、解析几何的概念：借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法，在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫做解析几何的学科。解析几何是用代数方法研究几何问题的数学学科。解析几何研究的两大基本问题就是：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程。（2）通过方程，研究平面曲线的性质。3.求解曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如（x，y）表示曲线上任意一点的坐标；（2）写出适合条件p的点M的集合P＝{M|P(M)}；（3）用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x,y)＝0；（4）化方程f(x,y)＝0为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。上述五个步骤可简记为：建系设点；写出集合；列方程；化简；证明。【解题方法指导】例1.如果曲线C上的点满足方程F（x，y）＝0，则以下说法正确的是（）A.曲线C的方程是F（x，y）＝0B.方程F（x，y）＝0的曲线是CC.坐标满足方程F（x，y）＝0的点在曲线C上D.坐标不满足方程F（x，y）＝0的点不在曲线C上分析：判定曲线和方程的对应关系，必须注意两点：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线的方程，方程的曲线。解：由已知条件，只能说具备纯粹性，但不一定具备完备性。故选D。例2.解答下列问题，且说出各依据了曲线的方程和方程的曲线定义中的哪一个关系？（1）点是否在方程为的圆上？（2）已知方程为的圆过点，求m的值。分析：（1）以方程的解为坐标的点是圆上的点，否则不在圆上；用心爱心专心（2）在圆上的点的坐标应该是这个方程的解。解：（1）把的坐标分别代入方程为检验，可知点的坐标是这个方程的解，点的坐标不是这个方程的解；依据关系（2），可知点在圆上，不在圆上。（2）因为点在圆上，所以M3的坐标是方程的解，把的坐标代入这个方程；依据关系（2），求得。下面证明（x≠±1）是点M的轨迹方程。（1）由求方程的过程可知，M的坐标都是方程（x≠±1）的解；（2）设点的坐标是方程（x≠±1）的解，即，∴由上述证明可知，方程（x≠±1）是点M的轨迹方程。例3.点M到两条互相垂直的直线的距离相等，求点M的轨迹方程。解：取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立直角坐标系，如图所示，设点M的坐标为，点M的轨迹就是到坐标轴的距离相等的点的集合P＝｛M||MR|＝|MQ|｝，其中Q、R分别是点M到x轴、y轴的垂线的垂足新疆学案王新敞因为点M到x轴、y轴的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值，所以条件｜MR｜＝｜MQ｜可写成|x|＝|y|，即x±y＝0①下面证明①是所求轨迹的方程新疆学案王新敞（1）由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程①的解；（2）设点的坐标是方程①的解，那么±＝０，即||＝||，而||、||正是点到纵轴、横轴的距离，因此点到这两条直线的距离相等，点是曲线上的点。由（1）（2）可知，方程①是所求轨迹的方程，图形如图所示。用心爱心专心点评：建立适当的坐标系能使求轨迹方程的过程较简单。所求方程的形式较“整齐”。（证明这一步可省略。）【考点突破】【考点指要】求轨迹方程问题是高考试题中一种常见的试题，解答题中多以求曲线方程为主，连续几年均有体现。高考比重5—10分。【典型例题分析】例4.（’06湖北卷9）设过点P（x，y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，若，则点P的轨迹方程是（）A.B.C.D.答案：D解：设A（a，0），B（0，b），a>0，b>0，则消去a，b得：故选D。点评：本题...
