3.2导数的计算课时跟踪检测一、选择题1．(2019·永城月考)下列求导运算正确的是()A.′＝1＋B．(log2x)′＝C．(3x)′＝3xlog3eD．(x2cosx)′＝－2xsinx解析：′＝1－，A错；(log2x)′＝，B正确；(3x)′＝3xln3，C错；(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx，D错，故选B.答案：B2．已知函数f(x)＝xsin，则f′＝()A．－B．0C．1D．解析：∵f(x)＝xsin＝xcosx，∴f′(x)＝cosx－xsinx，∴f′＝－.故选A.答案：A3．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)>0的解集为()A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)解析：∵f(x)＝x2－2x－4lnx，又x>0.∴f′(x)＝2x－2－>0，即x2－x－2>0，∴x>2或x<－1(舍去)．故选C.答案：C4．(2019·甘谷一中月考)已知直线y＝kx－2与曲线y＝xlnx相切，则实数k的值为()A．ln2B．1C．1－ln2D．1＋ln2解析：设切点坐标为(x0，y0)，由y＝xlnx得y′＝lnx＋1，则∴故选D.答案：D5．曲线y＝在点(1,1)处的切线方程为()A．x－y－2＝0B．x＋y－2＝0C．x＋4y－5＝0D．x－4y－5＝0解析：令f(x)＝，则f′(x)＝＝，∴f′(1)＝－1，∴在点(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.答案：B6．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()A.B．C.D．解析：由题意得y′＝′＝＝≥－1，∴－1≤tanα＜0，故选D.答案：D二、填空题7．(2019·淄川检测)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的1值为________．解析：∵f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex，∴f′(0)＝2＋1＝3.答案：38．(2019·棠湖月考)已知函数f(x)＝ex－2x(e为自然对数的底数)，那么曲线f(x)在点(0,1)处的切线方程为________．解析：∵f′(x)＝ex－2，∴f′(0)＝e0－2＝－1，∴f(x)在点(0,1)处的切线方程为y＝－x＋1，即x＋y－1＝0.答案：x＋y－1＝09．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．解析：∵y＝xn＋1，∴y′＝(n＋1)xn，y′x＝1＝n＋1.∴曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．令y＝0，得xn＝，故an＝lg＝lgn－lg(n＋1)．∴a1＋a2＋…＋a99＝(lg1－lg2)＋(lg2－lg3)＋…＋(lg98－lg99)＋(lg99－lg100)＝lg1－lg100＝－2.答案：－2三、解答题10．已知f(x)＝lnx－2ax，a∈R.若函数y＝f(x)存在与直线2x－y＝0平行的切线，求实数a的取值范围．解：∵f′(x)＝－2a(x>0)，函数y＝f(x)存在与直线2x－y＝0平行的切线，∴f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解，即－2a＝2在(0，＋∞)上有解，即＝2＋2a在(0，＋∞)上有解，所以2＋2a>0，得a>－1，故所求实数a的取值范围是(－1，＋∞)．11．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b.其中常数a，b∈R，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．解：∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b.∵f′(1)＝3＋2a＋b＝2a，∴b＝－3.又∵f′(2)＝12＋4a＋b＝－b，∴a＝－.∴f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－.又f′(1)＝2×＝－3，故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.12．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任意一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)∵f′(x)＝a＋，∴即解得∴f(x)＝x－.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点．由(1)得f′(x)＝1＋，∴点P处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)．令x＝0，得y＝－.即切线与x＝0的交点为.令y＝x，得y＝x＝2x0.2∴切线与直线y＝x的交点为(2x0,2x0)．∴所求面积S＝×·|2x0|＝6是定值．考题过关13．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则()A．a＝e，b＝－1B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1D．a＝e－1，b＝－1解析：∵y′＝aex＋lnx＋1，∴y′|x＝1＝ae＋1，由题意得y′＝ae＋1＝2，∴a＝e－1，∴y＝ex－1＋xlnx，当x＝1时，y＝1，∴(1,1)在直线y＝2x＋b上，∴2＋b＝1，∴b＝－1，故选D.答案：D3
