2016-2017学年高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式3排序不等式课后练习新人教A版选修4-5一、选择题1．若A＝x＋x＋…＋x，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正数，则A与B的大小关系为()A．A＞BB．A＜BC．A≥BD．A≤B解析：依序列{xn}的各项都是正数，不妨设0＜x1≤x2≤…≤xn，则x2，x3，…，xn，x1为序列{xn}的一个排列．依排序原理，得x1x1＋x2x2＋…＋xnxn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1，即x＋x＋…＋x≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1.答案：C2．(1＋1)··…··…·的取值范围是()A．(21，＋∞)B．(61，＋∞)C．(4，＋∞)D．(3n－2，＋∞)答案：C3．已知a1，a2，a3为正整数，则a1＋＋的最大值为()A．3B.C.D.答案：D4．设a，b，c∈R＋，则式子M＝a5＋b5＋c5－a3bc－b3ac－c3ab的符号是()A．M≥0B．M≤0C．M的符号与a，b，c的大小有关D．不能确定解析：不妨设a≥b≥c＞0，则a3≥b3≥c3，且a4≥b4≥c4，则a5＋b5＋c5＝a·a4＋b·b4＋c·c4≥a·c4＋b·a4＋c·b4.又a3≥b3≥c3，且ab≥ac≥bc.∴a4b＋b4c＋c4a＝a3·ab＋b3·bc＋c3·ca≥a3bc＋b3·ac＋c3ab∴a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab.∴M≥0.答案：A二、填空题5．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5s,4s,3s,7s，每个人接完水后就离开，则他们等候的总时间最短为________s.解析：由题意知，等候的时间最短为3×4＋4×3＋5×2＋7＝41.答案：4116．设A，B，C表示△ABC的三个内角，a，b，c表示其对边，则的最小值为________(A，B，C用弧度制表示)．解析：不妨设a≥b≥c，则A≥B≥C.由排序不等式，得aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC.aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC，将以上三式相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)·(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)，∴≥.答案：三、解答题7．设c1，c2，…，cn为正数a1，a2，…，an的某一排列，求证：＋＋…＋≥n.证明：不妨设0
0，则a2≥b2，∴a3＋b3＝a2·a＋b2·b≥a2·b＋b2·a＝ab(a＋b)．同理b3＋c3≥bc(b＋c)，c3＋a3≥ac(c＋a)，所以＋＋≤＋＋＝·＝.9．设a1，a2，…，an为1,2，…，n的一个排列，求证：＋＋…＋≤＋＋…＋.证明：设b1，b2，…，bn－1为a1，a2，…，an－1的一个排列，且b1>…>，由排序不等式：乱序和≥反序和，得＋＋…＋≥＋＋…＋①由于b1≥1，b2≥2，…，bn－1≥n－1，c1≤2，c2≤3，…，cn－1≤n，于是＋＋…＋≥＋＋…＋.即＋＋…＋≤＋＋…＋.②2综合①②，得证．3
