函数的最大(小)值与导数(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2017·济南高二检测)函数f(x)=x2ex+1,x∈[-2,1]的最大值为()A.4e-1B.1C.e2D.3e2【解析】选C.f′(x)=xex+1(x+2),令f′(x)=0得x=-2或x=0,当f′(x)>0时,x<-2或x>0;当f′(x)<0时,-2,f(x)在是减函数,1是增函数,所以最小值为f=1+lna=3a=e⇒2.【补偿训练】(2017·大庆高二检测)若函数y=x3+x2+m在[-2,1]上的最大值为,则m等于()A.0B.1C.2D.【解题指南】先求出函数y=x3+x2+m在[-2,1]上的最大值,再依据题设条件可得到关于m的方程,解方程即得出m的值.【解析】选C.y′=′=3x2+3x=3x(x+1).由y′=0,得x=0或x=-1.因为f(0)=m,f(-1)=m+.f(1)=m+,f(-2)=-8+6+m=m-2,所以f(1)=m+最大.所以m+=.所以m=2.4.已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=lnx-ax,当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值等于()A.B.C.D.1【解析】选D.因为f(x)是奇函数,所以f(x)在(0,2)上的最大值为-1.当x∈(0,2)时,f′(x)=-a,令f′(x)=0得x=,又a>,所以0<<2.2当00,f(x)在上单调递增;当2>x>时,f′(x)<0,f(x)在上单调递减,所以f(x)max=f=ln-a·=-1,解得a=1.5.设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意的x∈(0,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的取值范围为()A.a>4B.a≥4C.a<4D.a≤4【解析】选B.因为x∈(0,1],所以f(x)≥0,可化为a≥-,设g(x)=-,则g′(x)=.令g′(x)=0,得x=.当00;当m,则实数m的取值范围是()A.m0;当00,当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,所以函数f(x)的单调递增区间为(-2,-1),(1,2),单调递减区间为(-1,1),所以当x=-1时,f(x)有极大值3,当x=1时,f(x)有极小值-1.又f(-2)=-1,f(2)=3,则M+m=3-1=2.4答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)11.(2017·长沙高二检测)已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2]的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值.【解析】f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),令f′(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去).(1)当a>0时,列表如下:x-1(-1,0)0(0,2)2f′(x)+0-f(x)-7a+b↗↗b↘↘-16a+b由表可知,当x=0时,f(x)取极大值,也就是函数在[-1,2]上的最大值,所以f(0)=3,即b=3.又f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3
