第4节基本不等式【选题明细表】知识点、方法题号利用基本不等式比较大小、证明2,4,8,10利用基本不等式求最值1,3,5,7,13,14基本不等式的实际应用9,15基本不等式的综合应用6,11,12基础对点练(时间:30分钟)1.(2015遵义校级期末)下列各函数中,最小值为2的是(D)(A)y=x+(B)y=sinx+,x∈(0,2π)(C)y=(D)y=+-2解析:当x=-1时,y=x+=-2,排除A;当sinx=-1时,y=sinx+=-2,排除B;当x=0时,y==,排除C;对于y=+-2,利用基本不等式可得y≥2-2=2,当且仅当x=4时,等号成立,故D满足条件.2.(2016福州一中月考)已知a,b∈(0,+∞),则下列不等式不一定成立的是(D)(A)a+b+≥2(B)(a+b)(+)≥4(C)≥2(D)≥解析:A、因为a,b∈(0,+∞),所以a+b+≥2+≥2=2,当且仅当a=b=时等号成立,所以A成立;B、因为a,b∈(0,+∞),所以(a+b)(+)=1+++1≥2+2=4.当且仅当a=b=1时等号成立,所以B成立;C、因为a,b∈(0,+∞),所以≥=2,所以C成立;D、因为a,b∈(0,+∞),≤=,当且仅当a=b时等号成立,所以D不一定成立.3.(2015武清区模拟)已知x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则+的最小值是(C)(A)2(B)2(C)4(D)2解析:因为lg2x+lg8y=lg2,所以lg(2x·8y)=lg2,所以2x+3y=2,所以x+3y=1.因为x>0,y>0,所以+=(x+3y)(+)=2++≥2+2=4,当且仅当x=3y=时取等号.4.(2015高考陕西卷)设f(x)=lnx,0
p(C)p=rq解析:由题意得p=ln,q=ln,r=(lna+lnb)=ln=p,因为0,所以ln>ln,所以p=r0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于(C)(A)2(B)3(C)4(D)5解析:法一因为直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),所以+=1,所以1=+≥2=(当且仅当a=b=2时取等号),所以≥2.又a+b≥2(当且仅当a=b=2时取等号),所以a+b≥4(当且仅当a=b=2时取等号),故选C.法二因为直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),所以+=1,所以a+b=(a+b)(+)=2++≥2+2=4(当且仅当a=b=2时取等号),故选C.6.(2016银川一中高三第三次月考)已知x,y为正实数,且x,a1,a2,y成等差数列,x,b1,b2,y成等比数列,则的取值范围是(C)(A)R(B)(0,4](C)[4,+∞)(D)(-∞,0]∪[4,+∞)解析:由已知a1+a2=x+y,b1b2=xy,所以==++2≥2+2=4,当且仅当x=y时取等号.故选C.7.(2016万州模拟)已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),若a⊥b,则16x+4y的最小值为.解析:因为a⊥b,a=(x-1,2),b=(4,y),所以4(x-1)+2y=0,即4x+2y=4,因为16x+4y=24x+22y≥2=2=8,当且仅当24x=22y,即4x=2y=2时取等号.答案:88.若a>b>1,A=lg(),B=.C=(lga+lgb),则A,B,C从小到大的顺序为.解析:因为a>b>1,所以lga>0,lgb>0,则(lga+lgb)>,即C>B,lg()>lg=lg(ab)=(lga+lgb),所以A>C,综上,A>C>B.答案:A>C>B9.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*),则当每台机器运转年时,年平均利润最大,最大值是万元.解析:每台机器运转x年的年平均利润为=18-(x+),而x>0,故≤18-2=8,当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元.答案:5810.(2016开封模拟)已知a,b都是正实数,且a+b=1.(1)求证:+≥4;(2)求(a+)2+(b+)2的最小值.(1)证明:+=+=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=时等号成立.(2)解:(a+)2+(b+)2≥≥=.所以(a+)2+(b+)2≥,当且仅当a=b=时等号成立.故所求最小值为.11.(2015滕州校级模拟)已知不等式x2-5ax+b>0的解集为{x|x>4或x<1}.(1)求实数a,b的值;(2)若00,>0,所以f(x)=+=(+)[x+(1-x)]=5++≥5+2=9,当且仅当=,即x=时,等号成立.所以f(x)的最小值为9.能力提升练(时间:15分钟)12.(2015郑州模拟)已知正项等比数列{an}满足:a7=a6+2a5,若存在两项am,an,使得aman=16,则+的最小值为(A)(A)(B)(C)(D)不存在解析:设正项等比数列{an}的公比为q,易知q≠1,由a7=a6+2a5,得到a6q=a6+2,解得q=2,因为aman=16,所以a12m-1·a12n-1=16,所以m+n=6(m>0,n>0),所以+=(m+n)(+)=(5++)≥(5+2)=,当且仅当=,且m+n=6,即m=2,n=4时等号成立.13.(2016衡水中学高二上第二次调研)已知m,n∈R+,m≠n,x,y∈(0,+∞),则有+≥,当且仅当=时等号成立,用此结...
