高中数学第一章导数及其应用 1.3.2 极大值与极小值学业分层测评苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学试题VIP免费

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【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第一章导数及其应用1.3.2极大值与极小值学业分层测评苏教版选修2-2(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．【解析】由题意得，f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．当x<0时，f′(x)>0；当02时，f′(x)>0.故当x＝2时取得极小值．【答案】22．(2016·南通质检)若函数f(x)＝x·2x在x0处有极值，则x0＝________.【解析】f′(x)＝2x＋x·2xln2＝2x(1＋xln2)，由已知f′(x0)＝0，∴2x0(1＋x0ln2)＝0，即1＋x0ln2＝0.∴x0＝－.【答案】－3．设a∈R，若函数y＝ex－ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围为________．【解析】y′＝ex－a，令y′＝0得x＝lna，令lna>0，则a>1.【答案】(1，＋∞)4．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于________．【解析】y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．令y′＝0得x1＝0，x2＝4.x，y′，y之间的关系如下表x(－∞，0)0(0,4)4(4，＋∞)y′－0＋0－y极小值极大值由表可知y极大值＝f(4)＝32＋m＝13.∴m＝－19.【答案】－195．已知函数f(x)＝x3＋(3－5cosα)x2－3x在x＝1处有极值，则cos2α＝________.【解析】 f′(x)＝3x2＋2(3－5cosα)x－3，且f(x)在x＝1处有极值．∴f′(1)＝3＋2(3－5cosα)－3＝0，∴cosα＝，因此cos2α＝2cos2α－1＝－.【答案】－6．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图134所示，则下列说法中正确的是________．(填序号)图134①当x＝时函数取得极小值；②f(x)有两个极值点；③当x＝2时函数取得极小值；1④当x＝1时函数取得极大值．【解析】由图象可知，当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.∴f(x)有两个极值点1和2，且当x＝2时函数取得极小值，当x＝1时，函数取得极大值，故只有①不正确．【答案】②③④7．已知函数f(x)＝x4＋9x＋5，则f(x)的图象在(－1,3)内与x轴的交点的个数为________．【解析】f′(x)＝4x3＋9，易知f′(x)在(－1,3)上单调递增，则f′(x)>f′(－1)＝5>0，所以f(x)在(－1,3)上单调递增， f(－1)·f(3)<0.∴f(x)的图象在(－1，3)内与x轴的交点个数为1.【答案】18．(2016·石家庄高二检测)若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为________．【解析】 f′(x)＝3x2＋2x－a，函数f(x)在区间(－1,1)上恰有一个极值点，即f′(x)＝0在(－1,1)内恰有一个根．又函数f′(x)＝3x2＋2x－a的对称轴为x＝－.∴应满足∴∴1≤a<5.【答案】1,5)二、解答题9．已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.(1)求实数a，b的值；(2)求函数y的极小值.【导学号：01580014】【解】(1)y′＝3ax2＋2bx.由题意，知即解得(2)由(1)知y＝－6x3＋9x2.所以y′＝－18x2＋18x＝－18x(x－1)．令y′＝0，解得x1＝1，x2＝0.所以当x<0时，y′<0；当00；当x>1时，y′<0.所以当x＝0时，y有极小值，其极小值为0.10．(2016·太原高二检测)已知函数f(x)＝，若函数在区间(其中a>0)上存在极值，求实数a的取值范围．【解】因为f(x)＝，x>0，则f′(x)＝－，当00，当x>1时，f′(x)<0.所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，2所以函数f(x)在x＝1处取得极大值．因为函数f(x)在区间(其中a>0)上存在极值，所以解得0)．设g(x)＝，则g′(x)＝，则g(x)在(0,1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．∴g(x)在(0，＋∞)上有最小值，为g(1)＝e，结合g(x)＝与y＝k的图象可知，要满足题意，只需k≤e.【答案】(－∞，e]2．函数f(x)＝alnx＋bx2＋3x的极值点为x1＝1，x2＝2，则a＋b＝________.【解析】f′(x)＝＋2bx＋3＝(x>0)，函数的极值点为x1＝1，x2＝2，∴x1＝1，x2＝2是方程f′(x)＝＝0的两根，即为2bx2＋3x＋a＝0的两根，∴由根与系数的关系知解得故a＋b＝－.【答案】－3．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是____...

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