1.1.1函数的平均变化率[A基础达标]1．在求平均变化率时，自变量的增量Δx满足()A．Δx＞0B．Δx＜0C．Δx＝0D．Δx≠0答案：D2．一个做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则此物体在区间[0，0.001]内的平均变化率接近()A．0B．3C．－2D．3－2t答案：B3．函数f(x)＝2x在x＝1附近(即从1到1＋Δx之间)的平均变化率是()A．2＋ΔxB．2－ΔxC．2D．(Δx)2＋2解析：选C.Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)－2＝2Δx.所以＝＝2.4．某物体的运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是()A．v＝＝B．v＝C．v＝D．v＝解析：选A.由平均速度的定义可知，物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比．所以v＝＝.5．若函数y＝在区间[1，a]上的平均变化率为－，则a＝()A．1B．2C．3D．4解析：选B.因为Δx＝a－1，Δy＝－1＝，所以＝＝－＝－，所以a＝2.6．已知函数y＝＋3，当x由2变到1.5时，函数的增量Δy＝________．1解析：Δy＝f(1.5)－f(2)＝－＝－1＝.答案：7．已知函数y＝x3，当x＝1时，＝________．解析：因为Δy＝(1＋Δx)3－13＝(Δx)3＋3(Δx)2＋3Δx，所以＝(Δx)2＋3Δx＋3.答案：(Δx)2＋3Δx＋38．如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．解析：由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为：，，，结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]．答案：[x3，x4]9．求y＝在x0到x0＋Δx之间的平均变化率(x0≠0)．解：因为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝－＝－，所以＝－.10．若函数y＝f(x)＝－x2＋x在[2，2＋Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的取值范围．解：因为函数y＝f(x)在[2，2＋Δx]上的平均变化率为＝＝＝＝－3－Δx，所以由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.又因为Δx>0，所以Δx>0，即Δx的取值范围是(0，＋∞)．[B能力提升]11．函数y＝x2＋2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0的平均变化率为k2，则()A．k1k2C．k1＝k2D．不确定解析：选D.k1＝＝2x0＋Δx，k2＝＝2x0－Δx.2所以k1－k2＝2Δx，因为Δx的正负不确定，所以k1与k2的大小关系也不确定．12．一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为h＝2t2＋2t，则：(1)前3s内球的平均速度为________m/s；(2)在t∈[2，3]这段时间内球的平均速度为________m/s.解析：(1)由题设知，Δt＝3s，Δh＝h(3)－h(0)＝24(m)，即平均速度为v＝＝＝8(m/s)．(2)由题设知，Δt＝3－2＝1(s)，Δh＝h(3)－h(2)＝12(m)，即平均速度为v＝＝12(m/s)．答案：(1)8(2)1213．已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．解：自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为＝＝；自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为＝＝.因为<，所以函数f(x)＝x＋在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．14．(选做题)求函数y＝sinx在0到之间和到之间的平均变化率，并比较它们的大小．解：在0到之间的平均变化率为＝；在到之间的平均变化率为＝.所以函数y＝sinx在0到之间的平均变化率为，在到之间的平均变化率为，因为2－<1，所以>，故在0到之间的平均变化率较大．34
