高中数学 5.4 几个著名的不等式 5.4.1 柯西不等式同步测控 苏教版选修4-5-苏教版高二选修4-7数学试题VIP免费

5.4.1柯西不等式同步测控我夯基，我达标1.y=xx625的最大值是()A.3B.5C.3D.5解析:y=1×5x+2x6≤2221×5)6()5(22xx.答案:B2.若x、y∈R+,x+y≤4,则下列不等式成立的是()A.yx1≤41B.yx11≥1C.xy≥2D.xy1≥1解析:∵x+y≤4,x、y∈R+,∴yx1≥41.A不成立.∵x+y≥2xy,∴4≥2xy.∴xy≤2.∴C不成立.∴00,∴x1+y1≥yx4.∵x+y≤4,∴yx1≥41.∴yx4≥4×41=1.∴x1+y1≥1成立,即B成立.答案:B3.已知x、y、z∈R+,且x+y+z=1,则x2+y2+z2的最小值是()1A.1B.31C.32D.2解析:∵(x2+y2+z2)(12+12+12)≥(x+y+z)2=1,∴x2+y2+z2≥31,当且仅当x=y=z=31时,取“=”.答案:B4.n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是()A.1B.nC.n2D.n1解析:设ai>0(i=1,2,…,n),则(a1+a2+…+an)(11a+21a+…+na1)≥(221111aaaa+…+nnaa1)2=n2.答案:C5.已知a12+a22+…+an2=1,x12+x22+…+xn2=1,则a1x1+a2x2+…+anxn的最大值是()A.1B.2C.3D.4解析:由柯西不等式(a12+a22+…+an2)(x12+x22+…+xn2)≥(a1x1+a2x2+…+anxn)2,得a1x1+a2x2+…+anxn≤1.答案:A6.已知a、b∈R+,ab=1,则(1+a1)(1+b1)的最小值为()A.4B.2C.1D.41解析:(1+a1)(1+b1)≥(1+ba11)2=4.答案:A7.已知x、y、z∈R+,x+y+z=1,则zyx的最大值是________________.解析:∵(x+y+z)(1+1+1)≥(zyx)2,且x+y+z=1,∴zyx≤3.答案:38.若x>0,y>0且yx91=1,则x+y的最小值为________________.2解析:x+y=(x1+y9)(x+y)≥(x1×x+y9×y)2=16.答案:16我综合，我发展9.若a>b>c,且ba1+cb1≥cam恒成立,则m的取值范围为_________________.解析:∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,a-c>0.∴不等式ba1+cb1≥cam恒成立,即m≤(ba1+cb1)(a-c)恒成立.∵(a-c)(ba1+cb1)=［(a-b)+(b-c)］(ba1+cb1)≥(cbcbbaba11)2=4.∴m≤4.答案:m≤410.已知a2+b2=1且ccba9.16.设x1,x2,…,xn∈R+,且x1+x2+…+xn=1.求证:.111112222121nxxxxxxnn分析:可用柯西不等式的一般形式,注意“1”的变换.证明:∵(1211xx+2221xx+…+nnxx12)(n+1)=(1211xx+2221xx+…+nnxx12)(n+x1+x2+…+xn)=(1211xx+2221xx+…+nnxx12)［(1+x1)+(1+x2)+…+(1+xn)］≥(1211xx11x+222211xxx+…+nnnxxx112)2=(x1+x2+…+xn)2=1,即1211xx+221xx+…+nnxx12≥11n成立.5