2.10热点专题——函数及其应用中的热点问题一、选择题1．函数f(x)＝的定义域为()A．(0，＋∞)B.C.D.∪(1，＋∞)【解析】由得x≥且x≠1.【答案】D2．下列函数中既是奇函数，又在区间[－1，1]上单调递减的函数是()A．f(x)＝|tan2x|B．f(x)＝－|x＋1|C．f(x)＝(2－x－2x)D．f(x)＝log【解析】A中，函数f(x)＝|tan2x|在x＝±时没有定义，故排除A；B中，函数f(x)＝－|x＋1|不是奇函数，故排除B；C中，函数的定义域为R，且f(－x)＝(2x－2－x)＝－(2－x－2x)＝－f(x)，故该函数为奇函数且为减函数，故C正确；D中，令t＝g(x)＝(－2＜x＜2)，该函数为减函数，又y＝logx为减函数，所以函数f(x)＝log为增函数，故排除D.【答案】C3．(2017·昆明模拟)已知函数f(x)＝设a＝log，则f[f(a)]＝()A.B．2C．3D．－2【解析】－1＜a＝log＜0，则f[f(a)]＝f()＝log3＝.【答案】A4．(2017·长春模拟)若对任意的x∈R，y＝均有意义，则函数y＝loga的大致图象是()【解析】由题意得1－a|x|≥0，即a|x|≤1＝a0恒成立，由于|x|≥0，故0＜a＜1.y＝loga＝－loga|x|是偶函数，且在(0，＋∞)上是单调递增函数．【答案】B5．如果函数f(x)＝logax(a＞1)在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，那么实数a的值为()A.B.C．2D．3【解析】因为a＞1，所以函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上单调递增，所以f(2a)＝3f(a)，即loga2a＝3logaa＝3，所以a3＝2a，所以a＝.【答案】A6．已知函数f(x)＝，函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是()A．[－1，1)B．[0，2]C．[－2，2)D．[－1，2)【解析】由题意知g(x)＝.因为g(x)有三个不同的零点，所以2－x＝0在x＞a时有一个解，由x＝2得a＜2.由x2＋3x＋2＝0得x＝－1或x＝－2，由x≤a得a≥－1.综上，a的取值范围为[－1，2)，所以选D.【答案】D7．已知a＝3，b＝log，c＝log2，则()A．a＞b＞cB．b＞c＞aC．c＞b＞aD．b＞a＞c【解析】 a＝3＞1，0＜b＝log＝log32＜1，c＝log2＜0，∴a＞b＞c，故选A.【答案】A8．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(－x)，当x∈时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(x)在内是()A．减函数且f(x)＞0B．减函数且f(x)＜0C．增函数且f(x)＞0D．增函数且f(x)＜0【解析】因为f(x＋1)＝f(－x)，f(x)为奇函数，所以f(x＋1)＝－f(x)，f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，得f(x)的周期为2.当x∈时，f(x)＝log2(x＋1)恒为正，且单调递增，由f(x＋1)＝f(－x)可知f(x)关于x＝对称，作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知在上，f(x)为减函数且恒为负．【答案】B9．如图，不规则四边形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB交AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分的面积为y，则y关于x的图象大致是()【解析】当l从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢．【答案】C10．(2017·郑州模拟)已知函数f(x)是定义在R上以2为周期的奇函数，当x∈(0，1)时，有f(x)＝ln，则函数f(x)在x∈(3，4)时是一个()A．增函数且f(x)＜0B．增函数且f(x)＞0C．减函数且f(x)＜0D．减函数且f(x)＞0【解析】当x∈(0，1)时，f(x)＝ln是增函数且f(x)＞0，又f(x)是奇函数，则当x∈(－1，0)时，f(x)是增函数且f(x)＜0，因为f(x)的周期为2，所以当x∈(3，4)时，f(x)是增函数且f(x)＜0.【答案】A11．定义函数y＝f(x)，x∈D，若存在常数c，对任意x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得＝c，则称函数f(x)在D上的均值为c.已知f(x)＝lnx，x∈[1，e2]，则函数f(x)＝lnx在x∈[1，e2]上的均值为()A.B．1C．eD.【解析】只有x1x2＝e2，才有x1∈[1，e2]时，x2＝∈[1，e2]，所以函数f(x)＝lnx在x∈[1，e2]上的均值为＝＝＝1.【答案】B12．已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f(x)＝－a(x≠0)有且仅有3个零点，则a的取值范围是()A.∪B.∪C.∪D.∪【解析】当0＜x＜1时，f(x)＝－a＝－a，1≤x＜2时，f(x)＝－a＝－a，2≤x＜3时，f(x)＝－a＝－a，….f(x)＝－a的图象是把y＝的图象进行纵向平移而得到的，画出y＝的图象，如图所示，通过数形结合可知a∈∪.【答案】A二...
