课时分层作业(十六)空间向量的正交分解及其坐标表示(建议用时：60分钟)一、选择题1．给出下列命题：①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间的一个基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若BA，BM，BN不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面；④已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4D[根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然②正确．③中由BA，BM，BN不能构成空间的一个基底，知BA，BM，BN共面．又BA，BM，BN过相同点B，知A，B，M，N四点共面．所以③正确．下面证明①④正确：①假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb， d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使得d＝kc． d≠0，∴k≠0，从而c＝a＋b，∴c与a，b共面，与条件矛盾，∴d与a，b不共面．同理可证④也是正确的．于是①②③④四个命题都正确，故选D．]2．已知i，j，k是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，且AB＝－i＋j－k，则B点的坐标为()A．(－1,1，－1)B．(－i，j，－k)C．(1，－1，－1)D．不确定D[AB＝－i＋j－k，只能确定AB的坐标为(－1,1，－1)，而A点坐标不确定，所以B点坐标也不确定．]3．正方体ABCDA′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{AO1，AO2，AO3}为基底，AC′＝xAO1＋yAO2＋zAO3，则x，y，z的值是()A．x＝y＝z＝1B．x＝y＝z＝C．x＝y＝z＝D．x＝y＝z＝2A[AC′＝AA′＋AD＋AB＝(AB＋AD)＋(AA′＋AD)＋(AA′＋AB)＝AC＋AD′＋AB′＝AO1＋AO3＋AO2，由空间向量的基本定理，得x＝y＝z＝1．]4．已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝OA＋OB＋OC，向量b＝OA＋OB－OC，则与a，b不能构成空间基底的向量是()A．OAB．OBC．OCD．OA或OBC[因为a－b＝2OC，所以a，b与OC共面，不能构成空间的一个基底．]5．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，B1E＝A1B1，则BE等于()A．B．C．D．C[由题图知B(1,1,0)，E，所以BE＝．]二、填空题6．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________．1－1[因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有解得]7．如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则B1M＝________．－a＋b－c[B1M＝AM－AB1＝(AB＋AD)－(AB＋AA1)＝－AB＋AD－AA1＝－a＋b－c．]8．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，建立如图所示的空间直角坐标系，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1，则MN的坐标为________．[ PA＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，∴M，P(0,0,1)，C(－1,1,0)，则N．∴MN＝．]三、解答题9．如图所示，正方体OABCO′A′B′C′，且OA＝a，OC＝b，OO′＝c．(1)用a，b，c表示向量OB′，AC′；(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示GH．[解](1)OB′＝OB＋BB′＝OA＋OC＋OO′＝a＋b＋c．AC′＝AC＋CC′＝AB＋AO＋AA′＝OC＋OO′－OA＝b＋c－a．(2)GH＝GO＋OH＝－OG＋OH＝－(OB′＋OC)＋(OB′＋OO′)＝OO′－OC＝(c－b)．10．在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．(1)用向量a，b，c表示D1B，EF；(2)若D1F＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．[解](1)如图，D1B＝D1D＋DB＝－AA1＋AB－AD＝a－b－c，EF＝EA＋AF＝D1A＋AC＝－(AA1＋AD)＋(AB＋AD)＝(a－c)．(2)D1F＝(D1D＋D1B)＝(－AA1＋D1B)＝(－c＋a－b－c)＝a－b－c，∴x＝，y＝－，z＝－1．1．已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB，M，N分别是OA，BC的中点，点G是MN的中点，则OG等于()A．OA＋OB＋OCB．(OA＋OB＋OC)C．D．OB＋OA＋OCB[如图，OG＝(OM＋ON)＝OM＋×(OB＋OC)＝OA＋OB＋OC＝(OA＋OB＋OC)．]2．已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，向量a在基底{AB，AD，AA1}下的坐标为(2,1，－3)，则向量a在基底{DA，DC，DD1}下的坐标为()A．(2,1，－3)B．(－...
