第18课时利用导数研究函数的最值(限时：10分钟)1．函数f(x)＝ex－x在区间[－1,1]上的最大值是()A．1＋B．1C．e＋1D．e－1解析：f′(x)＝ex－1.令f′(x)＝0，得x＝0.当x∈[－1,0]时，f′(x)≤0；当x∈[0,1]时，f′(x)≥0.∴f(x)在[－1,0]上递减，在[0,1]上递增．又 f(－1)＝＋1，f(1)＝e－1，∴f(－1)－f(1)＝2＋－e＜0，∴f(－1)＜f(1)．∴f(x)max＝f(1)＝e－1.答案：D2．若函数y＝x3＋x2＋m在[－2,1]上的最大值为，则m等于()A．0B．1C．2D.解析：y′＝′＝3x2＋3x＝3x(x＋1)．由y′＝0，得x＝0或x＝－1.∴f(0)＝m，f(－1)＝m＋.又 f(1)＝m＋，f(－2)＝－8＋6＋m＝m－2，∴f(1)＝m＋最大．∴m＋＝.∴m＝2.答案：C3．函数f(x)＝3x＋sinx在x∈[0，π]上的最小值为__________．解析：f′(x)＝3xln3＋cosx. x∈[0，π]时，3xln3＞1，－1≤cosx≤1，∴f′(x)＞0.∴f(x)递增，∴f(x)min＝f(0)＝1.答案：14．函数f(x)＝x3－x2－2x＋5，若对于任意x∈[－1,2]，都有f(x)＜m，则实数m的取值范围是__________．解析：f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，得x＝－或x＝1.可求得f(x)max＝f(2)＝7.∴对于任意x∈[－1,2]，f(x)＜m恒成立时，m＞7.答案：m＞75．已知函数f(x)＝＋lnx，求f(x)在上的最大值和最小值．解析：f′(x)＝＋＝.由f′(x)＝0，得x＝1.∴在上，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：1x1(1,2)2f′(x)－0＋f(x)1－ln2单调递减极小值0单调递增－＋ln2 f－f(2)＝－2ln2＝(lne3－ln16)，而e3＞16，∴f＞f(2)＞0.∴f(x)在上的最大值为f＝1－ln2，最小值为0.(限时：30分钟)1．函数y＝f(x)＝的最大值为()A．e－1B．eC．e2D．10解析：令y′＝＝＝0⇒x＝e.当x＞e时，y′＜0；当0＜x＜e时，y′＞0，所以y极大值＝f(e)＝e－1，在定义域内只有一个极值，所以ymax＝e－1.答案：A2．函数f(x)＝＋x(x∈[1,3])的值域为()A．(－∞，1)∪(1，＋∞)B.C.D.解析：f′(x)＝－＋1＝，所以在[1,3]上f′(x)＞0恒成立，即f(x)在[1,3]上单调递增．所以f(x)的最大值是f(3)＝，最小值是f(1)＝.故选D.答案：D3．若函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为()A．－5B．7C．10D．－19解析：f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x－3)·(x＋1)．令f′(x)＝0，得x＝3或－1. x∈[－2，－1]时，f′(x)＜0，∴f(x)在[－2，－1]上递减．∴f(－2)＝2，即a＋2＝2，a＝0，它的最小值为f(－1)＝－5.答案：A4．f(x)＝2x－cosx在(－∞，＋∞)上()A．是增函数B．是减函数C．有最大值D．有最小值解析： f′(x)＝2＋sinx＞0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．答案：A5．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有相异的三个交点，则a的取值范围是()A．－2＜a＜2B．－2≤a＜2C．a＜－2或a＞2D．a＜－2或a≥22解析：可求得y＝x3－3x在x＝－1时取极大值2，在x＝1时，取极小值－2，则y＝x3－3x的图象如图所示．∴y＝a与y＝x3－3x的图象有相异的三个公共点时，－2＜a＜2.答案：A6．函数y＝－x(x≥0)的最大值为__________．解析：y′＝－1＝，令y′＝0得x＝. 0＜x＜时，y′＞0；x＞时，y′＜0.∴x＝时，ymax＝－＝.答案：7．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________.解析： f′(x)＝3x2－3，∴当x＞1或x＜－1时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1时，f′(x)＜0.∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增．∴f(x)min＝f(1)＝1－3－a＝－2－a＝n.又 f(0)＝－a，f(3)＝18－a，∴f(0)＜f(3)．∴f(x)max＝f(3)＝18－a＝m，∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20.答案：208．函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)，x∈[0,1]的值域为________．解析：当0≤x≤1时，f′(x)＝ex(sinx＋cosx)＋ex(cosx－sinx)＝excosx＞0，所以f(x)在[0,1]上单调递增，则f(0)≤f(x)≤f(1)，即函数f(x)的值域为.答案：9．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．解析：(1)因f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b，由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，故有即化简得解得a＝1，b＝－12.(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c；f′(x)＝3x2－1...
