高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的相关概念达标练习（含解析）新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题VIP免费

第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的相关概念A级基础巩固一、选择题1．下列命题中，正确命题的个数是()①一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；②－1没有平方根；③若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数．A．0B．1C．2D．3解析：当一个复数实部等于零，虚部也等于零时，复数为0，所以①错．－1的平方根为±i，所以②错．当a＝－1时，(a＋1)i＝0是实数，所以③错．答案：A2．设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于()A．－iB．iC．－1D．1解析：因为i2＝－1，所以－i2＝i·(－i)＝1，所以z＝－i.答案：A3．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若复数a－bi为纯虚数，则a＝0且b≠0，故ab＝0.而由ab＝0不一定能得到复数a－bi是纯虚数，故“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的必要不充分条件．答案：B4．已知复数z＝m2＋m－2＋(m2＋4m－5)i是纯虚数，其中m为实数，则m＝()A．－2B．1C．－2或1D．－5解析：由题意得解得m＝－2.故选A.答案：A5．已知集合M＝{1，2，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1，3}，且M∩N＝{3}，则实数m的值为()A．4B．－1C．－1或4D．－1或6解析：由于M∩N＝{3}，故3∈M，必有m2－3m－1＋(m2－5m－6)i＝3，可得m＝－1.答案：B二、填空题6．若复数m－3＋(m2－9)i≥0，则实数m的值为________．解析：依题意知解得即m＝3.答案：37．设i为虚数单位，若复数z＝(m2＋2m－3)＋(m－1)i是纯虚数，则实数m＝________．1解析：依题意有解得m＝－3.答案：－38．复数z＝cos＋sini，且θ∈，若z是实数，则θ的值为________；若z为纯虚数，则θ的值为________．解析：z＝cos＋sini＝－sinθ＋icosθ.当z是实数时，cosθ＝0.因为θ∈，所以θ＝±；当z为纯虚数时又θ∈，所以θ＝0.答案：±0三、解答题9．已知复数z＝(m2＋3m＋2)＋(m2－m－6)i，则当实数m为何值时，复数z：(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数．解：z＝(m2＋3m＋2)＋(m2－m－6)i.(1)令m2－m－6＝0⇒m＝3或m＝－2，即m＝3或m＝－2时，z为实数．(2)令m2－m－6≠0，解得m≠－2且m≠3，所以m≠－2且m≠3时，z是虚数．(3)由解得m＝－1，所以m＝－1时，z是纯虚数．10．关于x的方程3x－－1＝(10－x)i有实根，求实数a的值．解：设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为3m－－1＝(10－m)i，所以解得a＝58.B级能力提升1．若复数(x2＋y2－4)＋(x－y)i是纯虚数，则点(x，y)的轨迹是()A．以原点为圆心，以2为半径的圆B．两个点，其坐标为(2，2)，(－2，－2)C．以原点为圆心，以2为半径的圆和过原点的一条直线D．以原点为圆心，以2为半径的圆，并且除去两点(，)，(－，－)解析：因为复数(x2＋y2－4)＋(x－y)i是纯虚数，所以x2＋y2－4＝0，且x≠y，可解得x2＋y2＝4(x≠y)，故点(x，y)的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆，并且除去两点(，)，(－，－)．答案：D2．若复数z＝cosθ＋(m－sinθ－cosθ)i为虚数，则实数m的取值范围是____________________．解析：依题意有m≠sinθ＋cosθ.因为sinθ＋cosθ＝＝sin∈[－，]，所以m∈(－∞，－)∪(，＋∞)．答案：(－∞，－)∪(，＋∞)3．如果log(m＋n)－(m2－3m)i＞－1，求自然数m，n的值．解：因为log(m＋n)－(m2－3m)i＞－1，所以log(m＋n)－(m2－3m)i是实数．从而有由m2－3m＝0得m＝0或m＝3.当m＝0时代入log(m＋n)＞－1，得0＜n＜2，又m＋n＞0，所以n＝1；2当m＝3时，代入log(m＋n)＞－1，得n＜－1，与n是自然数矛盾．综上可得，m＝0，n＝1.3