【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第一章导数及其应用1.2.1常见函数的导数学业分层测评苏教版选修2-2(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．已知f(x)＝x2，则f′(－2)＝________.【解析】f′(x)＝2x，∴f′(－2)＝2×(－2)＝－4.【答案】－42．若函数f(x)＝，则f′(8)＝________.【解析】f′(x)＝(x)′＝x－，则f′(8)＝×(23)－＝×2－2＝.【答案】3．已知f(x)＝xz(z为常数)，若f′(－1)＝－4，则z的值是________．【解析】f′(x)＝zxz－1，由f′(－1)＝－4，得z·(－1)z－1＝－4，所以z＝4.【答案】44．点P在曲线y＝上，曲线在该点处的切线倾斜角为135°，则点P的坐标为________．【解析】y′＝(4x－2)′＝－8x－3，设点P(x0，y0)，依题意得－8x＝tan135°＝－1，∴x0＝2.又P(x0，y0)在曲线y＝上，∴y0＝1.【答案】(2,1)5．曲线y＝x2的平行于直线x－y＋1＝0的切线方程为________．【解析】∵y′＝x，设切点坐标为，∴x0＝1，则y0＝，切点为，切线的斜率为1，∴切线方程为：y－＝x－1，即x－y－＝0.【答案】x－y－＝06．已知f(x)＝，g(x)＝mx，且g′(2)＝，则m＝________.【解析】∵f′(x)＝－，∴f′(2)＝－，又g′(x)＝m，∴g′(2)＝m，由g′(2)＝，∴m＝－4.【答案】－47．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．【解析】由y＝x2(x>0)得，y′＝2x，∴函数y＝x2(x>0)在点(ak，a)处的切线方程为：y－a＝2ak(x－ak)，令y＝0，得x＝，即ak＋1＝，∴a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.【答案】218．(2016·南京高二检测)已知函数y＝f(x)的图象在M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝__________.【解析】依题意知，f(1)＝×1＋2＝，f′(1)＝，∴f(1)＋f′(1)＝＋＝3.【答案】31二、解答题9．求下列函数的导数(1)y＝；(2)y＝sin；(3)y＝2sincos；(4)y＝logx2－logx.【解】(1)y′＝()′＝(x)′＝x＝x.(2)∵y＝sin＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.(3)∵y＝2sincos＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.(4)∵y＝logx2－logx＝logx，∴y′＝(logx)′＝＝－.10．求证：双曲线xy＝1上任何一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数．【证明】由xy＝1，得y＝，从而y′＝－.在双曲线xy＝1上任取一点P，则在点P处的切线斜率k＝－.切线方程为y－＝－(x－x0)，即y＝－x＋.设该切线与x轴、y轴分别相交于A，B两点，则A(2x0,0)，B，故S△OAB＝|OA|·|OB|＝|2x0|·＝2.所以双曲线上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数．能力提升]1．已知f(x)＝x2，g(x)＝lnx，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.【导学号：01580008】【解析】f′(x)＝2x，g′(x)＝，由f′(x)－g′(x)＝1，得2x－＝1，解之得x1＝－，x2＝1.∵x>0，∴x＝1.【答案】12．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2016(x)＝________.【解析】由题意f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，…，则可知周期为4.从而f2016(x)＝f4(x)＝sinx.【答案】sinx3．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．【解析】∵y′＝(n＋1)xn，∴曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，则xn＝.故an＝lg＝lgn－lg(n＋1)．所以a1＋a2＋…＋a99＝(lg1－lg2)＋(lg2－lg3)＋…＋(lg98－lg99)＋(lg99－lg100)＝lg1－lg100＝－2.【答案】－24．已知曲线C：y＝x2－2x＋3，直线l：x－y－4＝0，在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最短，并求出最短距离．【解】设与直线l：x－y－4＝0平行，且与曲线C：y＝x2－2x＋3相切的直线为x－y＋k＝0设P(x0，y0)，y′＝2x－22∴2x0－2＝1，解得x0＝y0＝2－2×＋3＝，∴P∴k＝－＝∴d＝＝综上所述，点P为，最短距离为d＝.3
