§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)[限时50分钟，满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．下列求导数运算正确的是A.′＝1＋B．(log2x)′＝C．(3x)′＝3xlog3eD．(x2cosx)′＝－2xsinx解析对于A，′＝1－；对于B，由导数公式(logax)′＝知正确，故选B.答案B2．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为A．1B．2C．－1D．－2解析设切点为(x0，y0)，则y0＝x0＋1，y0＝ln(x0＋a)．又∵y′＝，∴＝1，即x0＋a＝1，∴y0＝0，x0＝－1，∴a＝2.答案B3．曲线y＝cos在x＝处切线的斜率为A．1B．－1C．2D．－2解析∵y′＝－2sin，∴切线的斜率k＝－2sin＝－2.答案D4．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0等于A．e2B．eC.D．ln2解析f′(x)＝x·＋lnx＝1＋lnx，因为f′(x0)＝2，所以1＋lnx0＝2，lnx0＝1，x0＝e.答案B5．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则A．a＝e，b＝－1B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1D．a＝e－1，b＝－11解析∵y′＝aex＋lnx＋1，∴k＝y′|x＝1＝ae＋1，∴切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1.∵已知切线方程为y＝2x＋b，∴即故选D.答案D6．若存在过点(1，0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a等于A．－1或－B．－1或C．－或－D．－或7解析设过点(1，0)的直线与曲线y＝x3相切于点(x0，x)，则切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x.又点(1，0)在切线上，代入以上方程得x0＝0或x0＝.当x0＝0时，直线方程为y＝0.由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－.当x0＝时，直线方程为y＝x－.由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－1.答案A二、填空题(每小题5分，共15分)7．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为________．解析∵y＝2ln(x＋1)，∴y′＝.当x＝0时，y′＝2，∴曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x.答案y＝2x8．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．解析y＝ax2＋的导数为y′＝2ax－，直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－.由题意得解得则a＋b＝－3.答案－39．已知函数f(x)＝f′cosx＋sinx，则f的值为________．解析∵f(x)＝f′cosx＋sinx，∴f′(x)＝－f′sinx＋cosx，2∴f′＝－f′sin＋cos，∴f′＝－1，从而有f＝(－1)cos＋sin＝1.答案1三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)求下列函数的导数：(1)y＝；(2)y＝cos；(3)y＝log2(4x＋7)；(4)y＝1322xx.解析(1)令u＝1－3x，则y＝u－4，∴y′＝－4u－5·(1－3x)′＝－4·(1－3x)－5·(－3)＝12(1－3x)－5.(2)令u＝3x－，则y＝cosu，∴y′＝(－sinu)·3＝－3sin.(3)令u＝4x＋7，则y＝log2u，∴y′＝·(4x＋7)′＝.(4)令u＝x2＋3x＋1，则y＝2u，∴y′＝2u(ln2)·(x2＋3x＋1)′＝(2x＋3)ln2·1322xx.11．(12分)已知a>0，f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，l是曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线．求切线l的方程．解析∵f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，∴f(0)＝1.f′(x)＝2ax－2＋＝，f′(0)＝－1，∴切点P的坐标为(0，1)，l的斜率为－1，∴切线l的方程为x＋y－1＝0.12．(13分)曲线y＝e2x·cos3x在(0，1)处的切线与直线l的距离为，求直线l的方程．解析y′＝(e2x)′·cos3x＋e2x·(cos3x)′＝2e2x·cos3x－3e2x·sin3x∴y′|x＝0＝2，∴在点(0，1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1.设所求直线l的方程为y＝2x＋b，3则＝，∴b＝6或－4.∴所求直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.4
