2．3.1离散型随机变量的均值课时跟踪检测一、选择题1．若E(ξ)＝2，E(η)＝－1，则E(3ξ＋2η)为()A．4B．6C．8D．5解析：E(3ξ＋2η)＝3E(ξ)＋2E(η)＝3×2＋2×(－1)＝4.答案：A2．若随机变量ξ～B(n,0.4)，若E(ξ)＝20，则n的值为()A．25B．50C．20D．40解析： ξ～B(n,0.4)，∴E(ξ)＝0.4n＝20，∴n＝50.答案：B3．随机变量X的分布列为X124P0.40.30.3则E(5X＋4)＝()A．11B．15C．35D．39解析：E(X)＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2，E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝15，故选B.答案：B4．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则＋的最小值为()A.B.C.D.解析：由题意得E(ξ)＝3×a＋2×b＋0×c＝3a＋2b＝2，∴＋＝·＝≥＝.答案：D5．若X是一个随机变量，则E[X－E(X)]的值为()A．－E(X)B．0C．E(X)D．2E(X)解析： E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a，b为常数)，又E(X)为常数，∴E[X－E(X)]＝E(X)－E(X)＝0.答案：B6．已知ξ的分布列如图所示，若η＝3ξ＋2，则E(η)＝()ξ123PtA.B.C.D．5解析：η的分布列为η58111Pt而＋t＋＝1，则t＝，∴E(η)＝＋＋＝.答案：A二、填空题7．若随机变量ξ的取值是a1，a2，…，an，E(ξ)＝4，则2a1－3,2a2－3，…，2an－3的数学期望为________．解析：E(2ξ－3)＝2E(ξ)－3＝2×4－3＝5.答案：58．李老师从课本上抄录一个随机变量ξ的分布列如下表：ξ123P！？！请小王同学计算ξ的数学期望，尽管“？”处完全无法看清，且两个“！”处字迹模糊，但能断定这两个“！”处的数值相同，则E(ξ)＝________.解析：设“！”处的数为x，“？”处的数为y，则2x＋y＝1，E(ξ)＝4x＋2y＝2(2x＋y)＝2.答案：29．毕业生小王参加人才招聘会，分别向A，B两个公司投递个人简历．假定小王得到A公司面试的概率为，得到B公司面试的概率为p，且两个公司是否让其面试是独立的．记ξ为小王得到面试的公司个数，若ξ＝0时的概率P(ξ＝0)＝，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________.解析：由题意得P(ξ＝2)＝p，P(ξ＝1)＝(1－p)＋p＝，ξ的分布列为ξ012Pp由＋＋p＝1，得p＝.所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×p＝.答案：三、解答题10．(2019·天津卷)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．解：(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故X～B，从而P(X＝k)＝Ck3－k，k＝0,1,2,3.所以，随机变量X的分布列为X0123P故随机变量X的数学期望E(X)＝3×＝2.(2)设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y，则Y～B，且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}．由题意知事件{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且事件{X＝3}与{Y＝1}，2事件{X＝2}与{Y＝0}均相互独立，从而由(1)知P(M)＝P({X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0})＝P({X＝3，Y＝1})＋P({X＝2，Y＝0})＝P({X＝3})P({Y＝1})＋P({X＝2})P({Y＝0})＝×＋×＝.11．某大学数学学院拟从往年的智慧队和理想队中选拔4名大学生组成志愿者招募宣传队，往年的智慧队和理想队的构成数据如下表所示，现要求被选出的4名大学生中两队中的大学生都要有.男(名)女(名)智慧队31理想队22(1)求选出的4名大学生仅有1名女生的概率；(2)记选出的4名大学生中女生人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望．解：(1)选出的4人中智慧队和理想队的都要有，所以选法种数是CC＋CC＋CC＝16＋36＋16＝68种．选出的4名大学生仅有1名女生的选法有第一类：从智慧队中选取1名女生的选法有CC＋CC＝3＋6＝9种，第二类：从理想队中选取1名女生的选法有CCC＋CCC＋CCC＝2＋12＋6＝20种，或者用排除法CC－1＝29种，所以选取4名大学生仅有1名女生的概率为P＝＝.(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.所以，随机变量X的分...
