（山东专用）2021新高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 课时作业55 最值、范围、证明问题（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

课时作业55最值、范围、证明问题1．若A(0，)，B(，1)是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上的两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，M为椭圆C上一动点，点P(3,0)，线段PM的垂直平分线交y轴于点Q，求|OQ|的最小值．解：(1)由题意知代入A，B两点坐标，得＝1，＋＝1，解得a2＝6，b2＝2，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)根据题意知直线PM，QN的斜率均存在且不为0.设M坐标为(x0，y0)，则＋＝1，即x＝6－3y.①线段PM的中点N，kPM·kQN＝－1，即kQN＝，所以直线lQN：y－＝.令x＝0，并结合①式得yQ＝＋＝＋＝，|OQ|＝|yQ|＝＝＋|y0|≥2＝，当且仅当＝|y0|，即y0＝±时取等号，所以|OQ|的最小值为.2．抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．(1)O为坐标原点，求证：OA·OB＝－3；(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．解：(1)证明：依题意得，F(1,0)，且直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝my＋1.联立消去x得y2－4my－4＝0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝1，故OA·OB＝x1x2＋y1y2＝－3.(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.由(1)知2S△AOB＝2×|OF||y1－y2|＝＝4，所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)上的点到右焦点F(c,0)的最大距离是＋1，且1，a,4c成等比数列．(1)求椭圆的方程；(2)过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M(m,0)，求实数m的取值范围．解：(1)由已知可得解得所以椭圆的方程为＋y2＝1.(2)由题意得F(1,0)，设直线AB的方程为y＝k(x－1)．与椭圆方程联立得消去y可得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝.可得线段AB的中点为N.当k＝0时，直线MN为y轴，此时m＝0.当k≠0时，直线MN的方程为y＋＝－，化简得ky＋x－＝0.令y＝0，得m＝.所以m＝＝∈.综上所述，m的取值范围为.4．已知点A(1，－)在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，O为坐标原点，直线l：－＝1的斜率与直线OA的斜率乘积为－.(1)求椭圆C的方程；(2)不经过点A的直线y＝x＋t(t≠0且t∈R)与椭圆C交于P，Q两点，P关于原点的对称点为R(与点A不重合)，直线AQ，AR与y轴分别交于两点M，N，求证：|AM|＝|AN|.解：(1)由题意知，kOA·kl＝－·＝－＝－，即a2＝4b2，①又＋＝1，②所以联立①②，解得，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则R(－x1，－y1)，由，得x2＋tx＋t2－1＝0，所以Δ＝4－t2>0，即－2b>0)的一个焦点，点M在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与椭圆C分别相交于A，B两点，且kOA＋kOB＝－(O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围．解：(1)由题意知，椭圆的另一个焦点为(－，0)，所以点M到两焦点的距离之和为＋＝4.所以a＝2.又因为c＝，所以b＝1，则椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)当直线l的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，kOA＋kOB＝0，不符合题意．故设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0.则x1＋x2＝，x1x2＝.而kOA＋kOB＝＋＝＝2k＋＝2k＋＝，由kOA＋kOB＝－，可得m2＝4k＋1，所以k≥－.又由Δ>0，得16(4k2－m2＋1)>0，所以4k2－4k>0，解得k<0或k>1，综上，直线l的斜率的取值范围为∪(1，＋∞)．6．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆C过点.(1)求椭圆C的...