第8章平面解析几何第4节直线与圆、圆与圆的位置关系1．（2014江西，5分）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为()A.πB.πC．(6－2)πD.π解析：选A法一：设A(a,0)，B(0，b)，圆C的圆心坐标为，2r＝，由题知圆心到直线2x＋y－4＝0的距离d＝＝r，即|2a＋b－8|＝2r，2a＋b＝8±2r，由(2a＋b)2≤5(a2＋b2)，得8±2r≤2r⇒r≥，即圆C的面积S＝πr2≥π.法二：由题意可知以线段AB为直径的圆C过原点O，要使圆C的面积最小，只需圆C的半径或直径最小．又圆C与直线2x＋y－4＝0相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O到直线2x＋y－4＝0的距离，此时2r＝，得r＝，圆C的面积的最小值为S＝πr2＝π.答案：A2．（2014新课标全国卷Ⅱ，5分）设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．解析：由题意可知M在直线y＝1上运动，设直线y＝1与圆x2＋y2＝1相切于点P(0,1)．当x0＝0即点M与点P重合时，显然圆上存在点N(±1，0)符合要求；当x0≠0时，过M作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45°，只需∠OMP≥45°.特别地，当∠OMP＝45°时，有x0＝±1.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为[－1,1]．答案：[－1,1]3．（2014江苏，5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：因为圆心(2，－1)到直线x＋2y－3＝0的距离d＝＝，所以直线x＋2y－3＝0被圆截得的弦长为2＝.答案：3．（2014重庆，5分）已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.解析：依题意，圆C的半径是2，圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离等于×2＝，于是有＝，即a2－8a＋1＝0，解得a＝4±.答案：4±4．（2014湖北，5分）直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.解析：由题意得，直线l1截圆所得的劣弧长为，则圆心到直线l1的距离为，即＝⇒a2＝1，同理可得b2＝1，则a2＋b2＝2.答案：25．（2014江苏，16分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆．且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝.(1)求新桥BC的长；(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？解：法一：(1)如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.由条件知A(0,60)，C(170,0)，直线BC的斜率kBC＝－tan∠BCO＝－.又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率kAB＝.设点B的坐标为(a，b)，则kBC＝＝－，kAB＝＝.解得a＝80，b＝120.所以BC＝＝150.因此新桥BC的长是150m.(2)设保护区的边界圆M的半径为rm，OM＝dm(0≤d≤60)．由条件知，直线BC的方程为y＝－(x－170)，即4x＋3y－680＝0.由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即r＝＝.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m，所以即解得10≤d≤35.故当d＝10时，r＝最大，即圆面积最大．所以当OM＝10m时，圆形保护区的面积最大．法二：(1)如图，延长OA，CB交于点F.因为tan∠FCO＝，所以sin∠FCO＝，cos∠FCO＝.因为OA＝60，OC＝170，所以OF＝OCtan∠FCO＝，CF＝＝.从而AF＝OF－OA＝.因为OA⊥OC，所以cos∠AFB＝sin∠FCO＝.又因为AB⊥BC，所以BF＝AFcos∠AFB＝，从而BC＝CF－BF＝150.因此新桥BC的长是150m.(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半径，并设MD＝rm，OM＝dm(0≤d≤60)．因为OA⊥OC，所以sin∠CFO＝cos∠FCO.故由(1)知sin∠CFO＝＝＝＝，所以r＝.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m，所以即解得10≤d≤35.故当d＝10时，r＝最大，即圆面积最大．所以当OM＝10m时，圆形保护区的面积最大．6．（2013江西，5分）过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值...
