1.1.1相似三角形判定定理课时过关·能力提升1.给出下列四个命题:①三边对应成比例的两个三角形相似;②一个角对应相等的两个直角三角形相似;③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似;④一个角对应相等的两个等腰三角形相似.其中正确的命题是()A.①③B.①④C.①②④D.①③④解析:很明显①和③都是判定定理,正确;②中,若相等的角是直角,则不一定相似,则②不正确;④中,若相等的角在一个三角形中是顶角在另一个三角形中是底角,则不一定相似,则④不正确.故选A.答案:A2.如图,锐角三角形ABC的高CD和BE相交于点O,图中与△ODB相似的三角形有()A.4个B.3个C.2个D.1个解析:与△ODB相似的三角形有△AEB,△OEC,△ADC,共有3个.答案:B3.以下列条件为依据,能判定△ABC∽△A'B'C'的一组是()A.∠A=45°,AB=12cm,AC=15cm;∠A'=45°,A'B'=16cm,A'C'=25cmB.AB=12cm,BC=15cm,AC=24cm;A'B'=20cm,B'C'=25cm,A'C'=32cmC.AB=2cm,BC=15cm,∠B=36°;A'B'=4cm,B'C'=5cm,∠A'=36°D.∠A=68°,∠B=40°;∠A'=68°,∠B'=40°解析:根据条件,结合三角形相似的方法进行判断即可.选项D中,∠A=∠A',∠B=∠B',则△ABC∽△A'B'C'.答案:D4.在△ABC中,D是AB上一点,在边AC上找一点E,使得△ADE与△ABC相似,则这样的点最多有()1A.0个B.1个C.2个D.无数个解析:如图,DE1∥BC,则△ADE1∽△ABC;在AC上存在点E2,使∠AE2D=∠B,又∠A=∠A,则△ADE2∽△ACB,故这样的点最多有2个.答案:C★5.如图,每个大正方形均由边长为1的小正方形组成,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是()解析:在△ABC中,∠B=135°,tanC=13,tanA=tan(180°-∠B-∠C)=tan(45°-∠C)=tan45°-tanC1+tan45°tanC=1-131+13=12.选项A中,三角形有一个角为135°,与∠B相等,有一个角的正切值为12,这个角与∠A相等,故选项A中的三角形与△ABC相似.可以判断选项B,C,D中的三角形与△ABC均不存在两个角对应相等,即都不相似.答案:A6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=6,AD=3,则AB=.解析:在△ACD和△ABC中,2∠A=∠A,∠ADC=∠ACB=90°,∴△ACD∽△ABC.∴ACAB=ADAC.∴6AB=36.∴AB=12.答案:127.如图,BD⊥AE,∠C=90°,AB=4,BC=2,AD=3,则DE=,CE=.解析:在Rt△ACE和Rt△ADB中,∠A是公共角,∴△ACE∽△ADB.∴ABAE=ADAC.∴AE=AB·ACAD=AB·(AB+BC)AD=4×(4+2)3=8.∴DE=AE-AD=8-3=5.在Rt△ACE中,CE=√AE2-AC2=√82-(4+2)2=2√7.答案:52√78.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,对角线BD⊥DC,AD=3,BC=7,则BD2=.解析:∵∠ADC+∠BCD=180°,∠BDC=90°,∴∠ADB+∠BCD=90°.又∠ADB+∠ABD=90°,∴∠ABD=∠BCD.又∠BAD=∠BDC=90°,∴Rt△ABD∽Rt△DCB.∴ADBD=BDBC.∴BD2=AD·BC=3×7=21.3答案:219.如图,四边形ABCD是平行四边形,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.求证:(1)△ABE∽△ADF;(2)△EAF∽△ABC.证明(1)由题意可知∠D=∠B,∠AEB=∠AFD=90°,∴△ABE∽△ADF.(2)由(1)知△ABE∽△ADF,∴ABAD=AEAF,∠BAE=∠DAF.又AD=BC,∴ABBC=AEAF.∵AF⊥CD,CD∥AB,∴AB⊥AF.∴∠BAE+∠EAF=90°.又AE⊥BC,∴∠BAE+∠B=90°.∴∠EAF=∠B.∴△EAF∽△ABC.★10.如图,在△ABC中,AD,CE是两条高,连接DE,如果BE=2,EA=3,CE=4,在不添加任何辅助线和字母的条件下,写出三个正确的结论(要求:分别为边的关系、角的关系、三角形相似),并对其中一个结论予以证明.分析因为题图中有高,所以可充分利用直角三角形的性质和勾股定理求出未知边的长度.由AE=3,CE=4,可知CA=5,这样可知AC=AB,即△ABC是等腰三角形,再寻找条件就比较容易了.解:①AB=AC;②∠B=∠ACB;③△CEB∽△ADC.下面仅证明△CEB∽△ADC.∵CE⊥AE,AE=3,CE=4,∴AC=√32+42=5.又AB=AE+BE=5,∴AC=AB.∴∠B=∠ACB.4∵∠CEB=∠ADC=90°,∴△CEB∽△ADC.5
