第七节离散型随机变量的分布列、均值与方差限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A级基础夯实练1．袋中有20个大小相同的球，其中标上0号的有10个，标上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．解：(1)X的分布列为X01234PE(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5.D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又E(Y)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2.当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.所以或2．(2018·合肥市第一次教学质量检测)某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择．方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束．若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖．规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1000元；若未中奖，则所获得的奖金为0元．方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中将均可获得奖金400元．(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列；(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？解：(1)X的可能取值为0,500,1000.P(X＝0)＝＋××＝，P(X＝500)＝×＝，P(X＝1000)＝××＝，所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列为X05001000P(2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金X的期望E(X)＝500×＋1000×＝520，若选择方案乙进行抽奖，中奖次数ξ～B，则E(ξ)＝3×＝，抽奖所获奖金X的期望E(X)＝E(400ξ)＝400E(ξ)＝480，故选择方案甲较划算．3．(2018·天津实验中学期中)从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中摸球(不放回)，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球，则试验结束．(1)求第一次试验恰好摸到1个红球和1个白球的概率；(2)记试验次数为X，求X的分布列及数学期望．解：(1)记“第一次试验恰好摸到1个红球和1个白球”为事件A，则P(A)＝＝.(2)X的所有可能取值为1,2,3,4，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝×＝；P(X＝3)＝××＝；P(X＝4)＝×××＝.∴X的分布列为X1234PE(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.4．(2018·湖南湘中联考)某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．(1)求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；(2)求η的分布列及期望E(η)．解：(1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”，可得表示事件“购买该商品的3位顾客中，无人采用1期付款”．又P()＝(1－0.4)3＝0.216，故P(A)＝1－P()＝1－0.216＝0.784.(2)η的所有可能取值为200,250,300.P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.4，P(η＝250)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，P(η＝300)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2.所以η的分布列为η200250300P0.40.40.2E(η)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240.B组能力提升练5．(2018·湖南邵阳月考)某省电视台举行歌唱大赛，大赛依次设初赛、复赛、决赛三个轮次的比赛．已知某歌手通过初赛、复赛、决赛的概率分别为，，，且各轮次通过与否相互独立．记该歌手参赛的轮次为ξ.(1)求ξ的分布列和数学期望；(2)记“函数f(x)＝3sin(x∈R)是偶函数”为事件A，求A发生的概率．解：(1)ξ的所有可能取值为1,2,3.P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝×＝，P(ξ＝3)＝×＝.所以ξ的分布列为ξ123PE(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.(2)若f(x)＝3sin(x∈R)是偶函数，则ξ＝1或ξ＝3.故P(A)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＝＋＝.6．(2018·辽宁大连期中)某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的单位进行试销，得到一组检测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，6)如表所...
