增分强化练(四十)1．(2019·东三省四市模拟)已知函数f(x)＝ex＋2－x
(1)证明：f(x)≥3；(2)若对任意x>0，f(x)>(x－a)2，求a的取值范围．解析：(1)证明：f′(x)＝ex＋2－1,令f′(x)＝ex＋2－1＝0，解得x＝－2，当x∈(－∞，－2)时，f(x)单调递减，当x∈(－2，＋∞)时，f(x)单调递增，所以f(x)≥f(x)min＝f(－2)＝3，故f(x)≥3
(2)对任意x>0，f(x)>(x－a)2，故ex＋2－x－(x－a)2>0，设g(x)＝ex＋2－x－(x－a)2，g′(x)＝ex＋2－1－x＋a,由(1)知g′(x)单调递增，g′(0)＝e2＋a－1
①当a≥1－e2时，g′(0)≥0，g′(x)≥0，所以g(x)单调递增，则g(0)＝e2－a2≥0，即－e≤a≤e
②当af(1)＝1
故当a＝1，x>1时f(x)>1
(2) f′(x)＝1－＝(x>0)，令h(x)＝x－2alnx(x>0)，则h′(x)＝1－＝，①当a＝0时，f(x)＝x无极大值．②当a0，h(x)在(0，＋∞)上单调递增；h(1)＝1>0，h(e)＝e－1
