第3讲平面向量与复数专题强化训练1．(2019·绍兴诸暨高考二模)已知复数z满足z(1＋i)＝2i，则z的共轭复数z等于()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i解析：选B.由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝1＋i，则z的共轭复数z＝1－i.故选B.2．在等腰梯形ABCD中，AB＝－2CD，M为BC的中点，则AM＝()A.AB＋ADB.AB＋ADC.AB＋ADD.AB＋AD解析：选B.因为AB＝－2CD，所以AB＝2DC.又M是BC的中点，所以AM＝(AB＋AC)＝(AB＋AD＋DC)＝(AB＋AD＋AB)＝AB＋AD，故选B.3．(2019·嘉兴一中高考模拟)复数z满足z·(2－i)＝3－4i(其中i为虚数单位)，则复数||＝()A.B.2C.D.解析：选D.复数z满足z·(2－i)＝3－4i(其中i为虚数单位)，所以z·(2－i)(2＋i)＝(3－4i)(2＋i)，化为：5z＝10－5i，可得z＝2－i.则复数||＝＝＝|－1－2i|＝|1＋2i|＝＝.故选D.4.在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC和DC的中点，则DE·BF＝()A．－B．C．－4D．－2解析：选C.通过建系求点的坐标，然后求解向量的数量积．在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC和DC的中点，以A为坐标原点，AB，AD为坐标轴，建立平面直角坐标系，则B(2，0)，D(0，2)，E(2，1)，F(1，2)．所以DE＝(2，－1)，BF＝(－1，2)，所以DE·BF＝－4.5．(2019·台州市书生中学检测)已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB＝3，AC＝4.若存在非零实数x、y，使得AO＝xAB＋yAC，且x＋2y＝1，则cos∠BAC的值为()A.B.C.D.解析：选A.设线段AC的中点为点D，则直线OD⊥AC.因为AO＝xAB＋yAC，所以AO＝xAB＋2yAD.又因为x＋2y＝1，所以点O、B、D三点共线，即点B在线段AC的中垂线上，则AB＝BC＝3.在△ABC中，由余弦定理得，cos∠BAC＝＝.故选A.6．在△ABC中，AB＝，BC＝2，∠A＝，如果不等式|BA－tBC|≥|AC|恒成立，则实数t的取值范围是()A．[1，＋∞)B．C．∪[1，＋∞)D．(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：选C.在直角三角形ABC中，易知AC＝1，cos∠ABC＝，由|BA－tBC|≥|AC|，得BA2－2tBA·BC＋t2BC2≥AC2，即2t2－3t＋1≥0，解得t≥1或t≤.7．称d(a，b)＝|a－b|为两个向量a，b间的“距离”．若向量a，b满足：①|b|＝1；②a≠b；③对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，则()A．a⊥bB．b⊥(a－b)1C．a⊥(a－b)D．(a＋b)⊥(a－b)解析：选B.由于d(a，b)＝|a－b|，因此对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，即|a－tb|≥|a－b|，即(a－tb)2≥(a－b)2，t2－2ta·b＋(2a·b－1)≥0对任意的t∈R都成立，因此有(－2a·b)2－4(2a·b－1)≤0，即(a·b－1)2≤0，得a·b－1＝0，故a·b－b2＝b·(a－b)＝0，故b⊥(a－b)．8．(2019·温州市高考模拟)记max{a，b}＝，已知向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，c＝λa＋μb(λ，μ≥0，且λ＋μ＝1，则当max{c·a，c·b}取最小值时，|c|＝()A.B.C.1D.解析：选A.如图，设OA＝a，OB＝b，则a＝(1，0)，b＝(0，2)，因为λ，μ≥0，λ＋μ＝1，所以0≤λ≤1.又c＝λa＋μb，所以c·a＝(λa＋b－λb)·a＝λ；c·b＝(λa＋b－λb)·b＝4－4λ.由λ＝4－4λ，得λ＝.所以max{c·a，c·b}＝.令f(λ)＝.则f(λ)∈.所以f(λ)min＝，此时λ＝，μ＝，所以c＝a＋b＝.所以|c|＝＝.故选A.9．(2019·绍兴市柯桥区高三期中检测)已知平面向量a，b，c满足|a|＝4，|b|＝3，|c|＝2，b·c＝3，则(a－b)2(a－c)2－[(a－b)·(a－c)]2的最大值为()A．4＋3B．4＋3C．(4＋3)2D．(4＋3)2解析：选D.设OA＝a，OB＝b，OC＝c，a－b与a－c所成夹角为θ，则(a－b)2(a－c)2－[(a－b)·(a－c)]2＝|AB|2|AC|2－|AB|2|AC|2cos2θ＝|AB|2|AC|2sin2θ＝|AB|2|AC|2sin2∠CAB＝4S，因为|b|＝3，|c|＝2，b·c＝3，所以b，c的夹角为60°，设B(3，0)，C(1，)，则|BC|＝，所以S△OBC＝×3×2×sin60°＝，设O到BC的距离为h，则·BC·h＝S△OBC＝，所以h＝，因为|a|＝4，所以A点落在以O为圆心，以4为半径的圆上，所以A到BC的距离最大值为4＋h＝4＋.所以S△ABC的最大值为××＝2＋，所以(a－b)2(a－c)2－[(a－b)·(a－c)]2最大值为4＝(4＋3)2.故选D.10．(2019·金华市东阳二中高三月考)若a，b是两个非零向2量，且|a|＝|b|＝λ|a＋b|，λ∈，则b与a－b的夹角的取值范围是()A.B.C.D.解析：选B.因为|a|＝|b|＝λ|a＋b|，λ...
