课时跟踪检测（六十一）古典概型与几何概型1．(2019·长沙长郡中学选拔性考试)长郡中学要从师生推荐的参加讲课比赛的3名男教师和2名女教师中，任选2人参加讲课比赛，则选取的2人恰为一男一女的概率为()A.B.C.D.解析：选B从3名男教师和2名女教师中任选2人参加讲课比赛，基本事件总数为10，选取的2人恰为一男一女包含的基本事件个数为6，故选取的2人恰为一男一女的概率为P＝＝＝.故选B.2．(2019·贵阳模拟)某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松三个比赛项目，4位长跑爱好者各自任选一个项目参加比赛，则这三个项目都有人参加的概率为()A.B.C.D.解析：选B基本事件总数n＝34＝81，这三个项目都有人参加所包含的基本事件个数m＝CA＝36，故这三个项目都有人参加的概率为P＝＝＝.3．(2019·广东五校联考)从1～9这9个自然数中任取7个不同的数，则这7个数的平均数是5的概率为()A.B.C.D.解析：选C从1～9这9个自然数中任取7个不同的数的取法共有C＝36种，从(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)中任选3组，有C＝4种选法，故这7个数的平均数是5的概率为＝，选C.4．(2019·成都外国语学校月考)《九章算术》中有如下问题：今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：已知直角三角形的两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是()A.B.C．1－D．1－解析：选D直角三角形的斜边长为＝17，设内切圆的半径为r，则8－r＋15－r＝17，解得r＝3.∴内切圆的面积为πr2＝9π，∴豆子落在内切圆外的概率P＝1－＝1－.5．(2019·长春质检)如图，扇形AOB的圆心角为120°，点P在弦AB上，且AP＝AB，延长OP交弧AB于点C，现向扇形AOB内投一点，则该点落在扇形AOC内的概率为()A.B.C.D.解析：选A设OA＝3，则AB＝3，AP＝，由余弦定理可求得OP＝，则∠AOP＝30°，所以扇形AOC的面积为，又扇形AOB的面积为3π，从而所求概率为＝.6．在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是()A．2－B．4－C．4－D．4解析：选B设圆的半径为r，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S＝24×＝4πr2－6r2，圆的面积S′＝πr2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为＝4－，故选B.7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为()A.B.C.D.解析：选Df′(x)＝x2＋2ax＋b2，要使函数f(x)有两个极值点，则有Δ＝(2a)2－4b2＞0，即a2＞b2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．满足a2＞b2的有6个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事件的概率为＝.8．(2019·安阳模拟)在边长为a的正三角形内任取一点P，则点P到三个顶点的距离均大于的概率是()A．－πB．1－πC．D．解析：选B如图，正△ABC的边长为a，分别以它的三个顶点为圆心，为半径，在△ABC内部画圆弧，得到三个扇形，则点P在这三个扇形外，因此所求概率为＝1－π，故选B.9．(2019·石家庄毕业班摸底)一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为x，y，z，当且仅当y＞x，y＞z时，称这样的数为“凸数”(如243)，现从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为()A.B.C.D.解析：选B从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数共有24个结果：123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432，其中是“凸数”的是132,142,143,231,241,243,341,342，共8个结果，所以这个三位数是“凸数”的概率为＝，故选B.10．(2018·全国卷Ⅰ)如图，来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图...
