立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题（一）选择题（12*5=60分）1．在等腰梯形中，,,为的中点，将与分别沿、向上折起，使、重合于点，则三棱锥的外接球的体积为（）A．B．C.D．【答案】C2．将边长为的正方形沿对角线折成一个直二面角.则四面体的内切球的半径为（）A．1B．C.D．【答案】D【解析】设球心为，球的半径为，由，知，故选D.3．【湖南省株洲市2018届质量检测】已知直三棱柱的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱，分别交于三点，若为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（）A.B.3C.D.4【答案】C【解析】建立直角坐标系如下：点M在侧棱上，设M，点N在上，设，点在上，设，则因为为直角三角形，所以，斜边，当时取等号.故答案为.故选C.4．已知，如图，在矩形中，分别为边、边上一点，且，现将矩形沿折起，使得，连接，则所得三棱柱的侧面积比原矩形的面积大约多（）A.68%B.70%C.72%D.75%【答案】D5．【河南省漯河市2018届第四次模拟】已知三棱锥中，，，点在底面上的射影为的中点，若该三棱锥的体积为，那么当该三棱锥的外接球体积最小时，该三棱锥的高为（）A.2B.C.D.3【答案】D6．已知边长为的菱形中，，现沿对角线折起，使得二面角为120°，此时点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图分别取的中点,连,则容易算得,由图形的对称性可知球心必在的延长线上,设球心为,半径为,,则由题设可得,解之得,则,所以球面面积,故应选C．HMNDBCA7．【福建省南安2018届第二次阶段考试】如图所示，长方体中，AB=AD=1,AA1=面对角线上存在一点使得最短，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A8．如图，边长为的等边三角形的中线与中位线交于点，已知是绕旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是（）①；②平面；③三棱锥的体积有最大值．A．①B．①②C．①②③D．②③【答案】C【解析】①中由已知可得面，∴．②，根据线面平行的判定定理可得平面．③当面面时，三棱锥的体积达到最大．故选C．9．【河南省林州市2018届8月调研】如图，已知矩形中，，现沿折起，使得平面平面，连接，得到三棱锥，则其外接球的体积为（）A.B.C.D.【答案】D10.一块边长为的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形（如图（3）），则该容器的体积为（）A．B．C.D．【答案】B11．【河南省师范大学附中2018届8月】把边长为1的正方形沿对角线折起，使得平面平面，形成三棱锥的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 C在平面ABD上的射影为BD的中点O，在边长为1的正方形ABCD中，，所以：左视图的面积等于12．【湖北省武汉市2018届调研联考】设点是棱长为2的正方体的棱的中点，点在面所在的平面内，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点到点的最短距离是（）A.B.C.1D.【答案】A（二）填空题（4*5=20分）13.如图，，平面，交于，交于，且，则三棱锥体积的最大值为．【答案】【解析】因为平面，所以,又，,又因为,所以平面,所以平面平面,，平面平面,所以平面,所以,所以平面,由可得，所以,所以三棱锥体积的最大值为.14．【河北衡水金卷2018届模拟一】如图，在直角梯形中，，，，点是线段上异于点，的动点，于点，将沿折起到的位置，并使，则五棱锥的体积的取值范围为__________．【答案】15．已知边长为的菱形中，，沿对角线折成二面角为的四面体，则四面体的外接球的表面积．【答案】【解析】如图所示，，，，∴，设， ，，∴由勾股定理可得，∴，∴四面体的外接球的表面积为，故答案为．16．【南宁市2018届12月联考】如图，在正方形中，分别是的中点，是的中点.现在沿及把这个正方形折成一个空间图形，使三点重合，重合后的点记为.下列说法错误的是__________（将符合题意的选项序号填到横线上）.①所在平面；②所在平面；③所在平面；④所在平面.【答案】①③④(三)解答题（4*10=40分）17．如图，在正方形中，点，分别是，的中点，将分别沿，折起，使两点重合于.（Ⅰ...
