3.2.2导数公式表(建议用时：45分钟)[学业达标]1．函数y＝在处的导数值是()A．4B．－4C．－D.【解析】【答案】B2．下列结论中不正确的是()A．若y＝x4，则y′|x＝2＝32B．若y＝，则y′|x＝2＝－C．若y＝，则y′|x＝1＝－D．若y＝x－5，则y′|x＝－1＝－5【解析】由幂函数的求导公式易知B不对，【答案】B3．已知曲线y＝在点P(1,4)处的切线与直线l平行且距离为，则直线l的方程为()A．4x－y＋9＝0B．4x－y＋9＝0或4x－y＋25＝0C．4x＋y＋9＝0或4x＋y－25＝0D．以上均不对【解析】y′＝－，∴k＝－4，∴切线方程为y－4＝－4(x－1)，即4x＋y－8＝0，设l：4x＋y＋c＝0，由题意＝，∴c＝9或－25，应选C.【答案】C4．曲线y＝cosx在点处的切线斜率是()【导学号：25650112】A.B．－C.D．－【解析】∵y′＝(cosx)′＝－sinx，则k＝－sin＝.【答案】C5．已知函数f(x)＝xm－n(m，n∈Q)的导数为f′(x)＝nx3，则m＋n＝()A．12B．11C．10D．9【解析】∵f(x)＝xm－n，∴f′(x)＝(m－n)xm－n－1，∴解得m＝8，n＝4，∴m＋n＝12.【答案】A1二、填空题6．曲线y＝x2的平行于直线x－y＋1＝0的切线方程为________．【解析】设所求切线的切点为P(x0，y0)，则切线的斜率为f′(x0)＝2x0＝1，∴x0＝，y0＝.∴切线方程为x－y－＝0.【答案】x－y－＝07．曲线y＝x2上过点(2,4)的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为________．【解析】∵y′＝2x，∴y′|x＝2＝4，∴过点(2,4)的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.令y＝0，得切线在x轴上的截距为1，故所求面积为S＝×(2－1)×4＝2.【答案】28．抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为________．【解析】设直线x－y＋m＝0与抛物线y＝x2相切，切点为(x0，x)，y′＝2x，故k＝2x0＝1，则x0＝，所以切点坐标为，又－＋m＝0，得m＝－，∴直线x－y－2＝0与x－y－＝0间的距离为d＝＝.【答案】三、解答题9．求下列函数的导数．(1)y＝x；(2)y＝x；(3)y＝lg5；(4)y＝3lg；(5)y＝2cos2－1.【解】(1)y′＝′＝xln＝－＝－e－x.(2)y′＝′＝xln＝＝－10－xln10.(3)∵y＝lg5是常数函数，∴y′＝(lg5)′＝0.(4)∵y＝3lg＝lgx，∴y′＝(lgx)′＝.(5)∵y＝2cos2－1＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.10．已知点P(e，a)在曲线f(x)＝lnx上，直线l是以点P为切点的切线，求过点P且与直线l垂直的直线的方程．(字母e是一个无理数，是自然对数的底数)【解】∵f′(x)＝，∴kl＝f′(e)＝.由题意知所求直线斜率为－e.∵点P(e，a)在曲线f(x)＝lnx上，∴a＝lne＝1.故所求直线方程为y－1＝－e(x－e)，即ex＋y－e2－1＝0.[能力提升]1．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2016(x)等于()A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx【解析】易知f0(x)＝sinx，f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，…故可知fn(x)呈现周期性．2所以f2016(x)＝f0(x)＝sinx.【答案】A2．y＝logx在点P处的切线方程为()A．y＝3xB．y－1＝－C．y＝－3xD．y－1＝3ln3【解析】y′＝＝－.当x＝时，－＝－，即y＝在点P处的切线的斜率为－.∴所求的切线方程为y－1＝－.【答案】B3．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为()A.B．－C．－eD．e【解析】y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则∴ex0＝ex0·x0，∴x0＝1，∴k＝e.【答案】D4．直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b＝________.【导学号：25650113】【解析】设切点为(x0，y0)，∵y′＝，∴＝，∴x0＝2，∴y0＝ln2，ln2＝×2＋b，∴b＝ln2－1.【答案】ln2－13
