高二数学数学归纳法知识精讲1 人教版VIP专享VIP免费

高二数学数学归纳法知识精讲人教版一.本周教学内容：寒假专题——预习《代数》第六章的§6.12数学归纳法二.重点、难点：1.什么是归纳法？什么是数学归纳法？要回答这个问题，就需要从数学中的推理方法谈起。在数学中，常用的推理方法可分为演绎法和归纳法两种。所谓演绎法就是从普遍性的规律（如概念、公理、定理）出发，去认识特殊的，个别的研究对象的方法，即从一般到特殊的推理方法，演绎法是数学中十分重要的方法，可以说，数学大厦就是主要靠演绎法构建起来的。其基本模式是三段论法，即：（1）大前提：已知的一般原理；（2）小前提：所研究特殊事物的特征；（3）结论：从已知的一般原理结合特殊事物的特征，做出判断。例如，（1）大前提：对函数y＝f(x)定义域内的任意x，都有f(－x)＝－f(x)，则f(x)是奇函数。（）小前提：，对定义域内任意，有，即。23333fxxxRxfxxxxxxxfxfxfx()sin()()sin()sin(sin)()()()（）结论：是奇函数。33fxxx()sin归纳推理则是通过考察事物的部分对象而得到有关事物的一般性结论的方法，即从特殊到一般的推理方法。例如：观察下列各式：1121342213593213571642……通过对以上四个等式的分析，我们就把这四个等式中所蕴涵的构成规律提出来：“自然数中，前n个奇数之和等于n的平方”。即1＋3＋5＋……＋(2n－1)＝n2，但这样得到的结论还只是一种猜想，其结论是否对任意自然数都正确，还有待考证。对于以上提出的等式：1＋3＋5＋……＋(2n－1)＝n2的正确性，怎样才能证明它呢？无疑，如果我们能就n＝1，n＝2，n＝3，……，逐个考察，验证，是个好方法，但这是不可能做到的，因为自然数有无穷多个，即使我们穷其一生，也难以验证完。因此需另辟蹊径。用以证明这种命题的好方法是数学归纳法。数学归纳法与归纳法虽然都含有归纳二字，但其涵义有着本质的不同，那么什么是数学归纳法呢？试想象有无穷多块多米诺骨牌，它们满足哪些条件，就可在启动第一块后，保证所有的骨牌都能倒下呢？事实上，只需两个条件：（1）第一块骨牌倒下；（2）对任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则导致后一块骨牌倒下。数学归纳法在证明与自然数n（无穷多个）相关的命题时，思想方法与推倒骨牌类似。在证明时，只需证明两点：（）当（命题适合的最小自然数）时，命题成立；10nn（）若当（）时，命题成立，则当时，命题也成立。210nkknnk那么就可断言：对所有的，命题都成立。nn()0这样，我们只需用有限的工作（证明两点），就解决了需无穷多次验证的问题，多么巧妙的用心爱心专心证明方法！（这是一种逐项递推的思维方法）2.数学归纳法的步骤：用数学归纳法证明某个命题时，需分三个步骤：（1）验证n取第一个值n0时命题的正确性。（递推基础）（2）证明“由n＝k时命题正确可推得n＝k＋1时命题也正确”。（递推的依据）（3）由以上两步骤得出结论。以上的第一步与第二步缺一不可。如果只有第一步证明，缺少第二步的证明，那么就只能保证当n＝n0时，命题成立，至于n取其他自然数的情形，则并未证明，这种“以一代全”的证明显然有误；而如果只证明第二步，而不证明第一步，乍看似乎能由递推的特性把n取所有自然数的情形都证明了。但细细想来，还是有问题的，试想，当n＝n0时命题成立与否并未确认，那么第二步涉及的递推的基础又去哪儿寻找呢？即便有第二步的递推关系成立，则因缺少递推的基础，就使得第二步的证明尤如“空中楼阁”很不可靠，下面举一例说明之。命题：1352112()nn若时，命题成立，即；nkkk1352112()则时，nkkkkkkkk11352121121211222()()()()()可见，由n＝k时命题成立，能推出n＝k＋1时，命题也成立，但是这个命题都是错的，为什么？试验证n＝1时的命题：左式＝1，右式＝0，显然不成立。可见，数学归纳法的三个步骤中，缺一不可。【典型例题】例用数学归纳法证明：。112312162222.()()()nnnnnN证明：（）当时，左式，右式1111111211612n()()左式＝右式，等...