第一章1.31.3.2函数的极值与导数A级基础巩固一、选择题1．已知函数y＝f(x)在定义域内可导，则函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件[解析]根据导数的性质可知，若函数y＝f(x)在这点处取得极值，则f′(x)＝0，即必要性成立；反之不一定成立，如函数f(x)＝x3在R上是增函数，f′(x)＝3x2，则f′(0)＝0，但在x＝0处函数不是极值，即充分性不成立．故函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的必要不充分条件，故选B．2．函数y＝2x3－6x2－18x＋7(A)A．在x＝－1处取得极大值17，在x＝3处取得极小值－47B．在x＝－1处取得极小值17，在x＝3处取得极大值－47C．在x＝－1处取得极小值－17，在x＝3处取得极大值47D．以上都不对[解析]y′＝6x2－12x－18，令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝3．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况见下表：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴当x＝－1时，f(x)取得极大值，f(－1)＝17，当x＝3时，f(x)取得极小值，f(3)＝－47．3．函数y＝x4－x3的极值点的个数为(B)A．0B．1C．2D．3[解析]y′＝x3－x2＝x2(x－1)，由y′＝0得x1＝0，x2＝1．当x变化时，y′、y的变化情况如下表x(－∞，0)0(0,1)1(1，＋∞)y′－0－0＋y无极值极小值故选B．4．已知实数a、b、c、d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于(A)A．2B．1C．－1D．－2[解析] a、b、c、d成等比数列，∴ad＝bc，又(b，c)为函数y＝3x－x3的极大值点，∴c＝3b－b3，且0＝3－3b2，1∴或∴ad＝2．5．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是(C)A．－1
6D．a<－1或a>2[解析]f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6， f(x)有极大值与极小值，∴f′(x)＝0有两不等实根，∴Δ＝4a2－12(a＋6)>0，∴a<－3或a>6．6．(2018·全国卷Ⅲ理，7)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为(D)ABCD[解析]f′(x)＝－4x3＋2x，则f′(x)>0的解集为－∞，－∪0，，f(x)单调递增；f′(x)<0的解集为－，0∪，＋∞，f(x)单调递减．故选D．二、填空题7．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为y＝－．[解析]y＝f(x)＝xex⇒f′(x)＝(1＋x)ex，令f′(x)＝0⇒x＝－1，此时f(－1)＝－，函数y＝xex在其极值点处的切线方程为y＝－．8．若函数f(x)＝x3－2mx2＋m2x在x＝1处取得极小值，则实数m＝1．2[解析] f′(x)＝(3x－m)(x－m)由题意得：f′(1)＝(3－m)(1－m)＝0∴m＝3或m＝1．经检验知，当m＝3时，在x＝1处取得极大值．当m＝1时，在x＝1处取得极小值．∴m＝1．三、解答题9．(2018·天津文，20)设函数f(x)＝(x－t1)(x－t2)(x－t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．(1)若t2＝0，d＝1，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若d＝3，求f(x)的极值．[解析](1)由已知，可得f(x)＝x(x－1)(x＋1)＝x3－x，故f′(x)＝3x2－1．因此f(0)＝0，f′(0)＝－1．又因为曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)(x－0)，故所求切线方程为x＋y＝0．(2)由已知可得f(x)＝(x－t2＋3)(x－t2)(x－t2－3)＝(x－t2)3－9(x－t2)＝x3－3t2x2＋(3t－9)x－t＋9t2．故f′(x)＝3x2－6t2x＋3t－9．令f′(x)＝0，解得x＝t2－或x＝t2＋．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，t2－)t2－(t2－，t2＋)t2＋(t2＋，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以函数f(x)的极大值为f(t2－)＝(－)3－9×(－)＝6，函数f(x)的极小值为f(t2＋)＝()3－9×＝－6．10．(2018·北京文，19)设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex．(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求a；(2)若f(x)在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．[解析](1)解：因为f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，所以f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex，f′(2)＝(2a－1)e2．由题设知f′(2)＝0，即(2a－1)e2＝0，解得a＝．(2)解：由(1)得f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex＝(ax－1)(x－1)ex．若a>1，则当x∈，1时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0．所以...
