【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第7章第6节立体几何中的向量方法（Ⅰ）-证明平行与垂直课后限时自测理苏教版[A级基础达标练]一、填空题1．如果三点A(1,5，－2)，B(2,4,2)，C(a,3，b＋2)在同一直线上，那么a＝________，b＝________.[解析]AB＝(1，－1,4)，BC＝(a－2，－1，b)，存在实数λ使得AB＝λBC，(1，－1,4)＝λ(a－2，－1，b)得a＝3，b＝4.[答案]342．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则l与α的位置关系为________．[解析]由u＝－2(1,0,2)＝－2a知a∥u.[答案]垂直3．已知平面α的法向量为n＝(1,2，－2)，平面β的法向量为m＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则实数k的值为________．[解析]由α⊥β得m·n＝－2－8－2k＝0，则k＝－5.[答案]－54．已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．[解析]AB＝(0,1，－1)，AC＝(1,0，－1)，∴n·AB＝0，n·AC＝0，∴n⊥AB，n⊥AC，故n也是α的一个法向量．又 α与β不重合，∴α∥β.[答案]平行5．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝，且BP⊥平面ABC，则实数y＝________.[解析]由AB·BC＝8－2z＝0，得z＝4，又BP⊥平面ABC，知BP⊥AB，且BP⊥BC，∴＋5y＋6＝0且＋y－12＝0，解得y＝－.[答案]－6．已知{i，j，k}是单位正交基底，a＝i＋2j＋3k，b＝2i＋j＋xk，则a⊥b时，|b|＝________.[解析]当a⊥b时，a·b＝0，又a＝(1,2,3)，b＝(2,1，x)∴a·b＝2＋2＋3x＝0，∴x＝－，|b|＝＝.[答案]7．(2014·济南质检)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，AP＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的法向量；④AP∥BD.其中正确的是________(填序号)．[解析] AB·AP＝0，AD·AP＝0，∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确．又AB与AD不平行，∴AP是平面ABCD的法向量，则③正确．由于BD＝AD－AB＝(2,3,4)，AP＝(－1,2，－1)，∴BD与AP不平行，故④错误．[答案]①②③8．如图7610所示，正方体的棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是________．图7610[解析]分别以C1B1、C1D1、C1C所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系． A1M＝AN＝a，∴M，N，∴MN＝.又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，∴C1D1＝(0，a,0)，∴MN·C1D1＝0，∴MN⊥C1D1，所以MN∥平面BB1C1C.[答案]平行二、解答题9．(2014·盐城模拟)正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为4，D为CC1的中点．图7611求证：AB1⊥平面A1BD.[证明]取BC中点O，连结AO， △ABC为正三角形，∴AO⊥BC， 在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1，取B1C1中点为O1，以O为原点，OB，OO1，OA的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则B(2,0,0)，D(－2,2,0)，A1(0,4,2)，A(0,0,2)，B1(2,4,0)．∴AB1＝(2,4，－2)，BD＝(－4,2,0)，BA1＝(－2,4,2)， AB1·BD＝－8＋8＋0＝0，AB1·BA1＝－4＋16－12＝0.∴AB1⊥BD，AB1⊥BA1.∴AB1⊥平面A1BD.10．(2014·南师附中模拟)四棱锥PABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝2，CD＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝4.图7612(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)设点Q为线段PB上一点，＝λ，且直线QC与平面PAC所成角的正弦值为，求λ的值．[解]如图，建立直角坐标系，则B(4,0,0)，C(2,2，0)，D(0，2，0)，P(0,0,4)．(1)证明：因为BD＝(－4，2，0)，AC＝(2,2，0)，BD·AC＝0，所以BD⊥AC，又PA⊥平面ABCD，PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC.(2)PB＝(4,0，－4)，PQ＝λPB＝(4λ，0，－4λ)，CQ＝CP＋PQ＝(－2，－2，4)＋(4λ，0，－4λ)＝(4λ－2，－2，－4λ＋4)．由(1)知BD是平面PAC的法向量，|cos〈CQ·BD〉|等于QC与平面PAC所成角的正弦值，即|cos〈CQ·BD〉|＝＝，即＝1，解出λ＝.[B级能力提升练]一、填空题1．如图7613，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为________．图7613[解析]以D1A1、D1C1、D1D分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设CE＝x，DF＝...
