第八节离散型随机变量的均值与方差————————————————————————————————[考纲传真]1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.2.会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单实际问题．1．离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差：称D(X)＝∑(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．3．两点分布与二项分布的均值、方差均值方差变量X服从两点分布E(X)＝pD(X)＝p(1－p)X～B(n，p)E(X)＝npD(X)＝np(1－p)1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．()(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．()(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小.()(4)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是0.7.()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√2．(教材改编)已知X的分布列为X－101P设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为()A.B．4C．－1D．1A[E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，1则E(Y)＝2E(X)＋3＝3－＝.]3．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝2,4,6,8,10)，则D(ξ)等于()A．8B．5C．10D．12A[ E(ξ)＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6，∴D(ξ)＝[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.]4．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是________.【导学号：51062371】[同时抛掷两枚质地均匀的硬币，至少有一枚硬币正面向上的概率P＝1－2＝.又X～B，∴成功次数X的均值E(X)＝2×＝.]5．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)＝________.[ E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝，n＝12，则P(X＝1)＝C××11＝3×2－10＝.]离散型随机变量的均值、方差(2017·绍兴诊断)某人在如图981所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：图981X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．[解](1)所种作物总株数N＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有CC＝36种，4分选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8种.4分故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为＝.6分(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列．2因为P(Y＝51)＝P(X＝1)，P(Y＝48)＝P(X＝2)，P(Y＝45)＝P(X＝3)，P(Y＝42)＝P(X＝4)，所以只需求出P(X＝k)(k＝1,2,3,4)即可.9分记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k＝1,2,3,4)，则n1＝2，n2＝4，n3＝6，n4＝3.由P(X＝k)＝得P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.12分故所求Y的分布列为Y51484542P14分所求的数学期望为E(Y)＝51×＋48×＋45×＋42×＝＝46.15分[规律方法]1.求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．2．注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的应用．[变式训练1]一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图982所示．图982将日销售量落入各组的频率...
