课时提升作业(十九)导数的几何意义(15分钟30分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.如果曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0,那么()A.f′(x0)>0B.f′(x0)<0C.f′(x0)=0D.f′(x0)不存在【解析】选B.切线x+2y-3=0的斜率k=-,即f′(x0)=-<0.故应选B.2.(2015·南安高二检测)抛物线y=x2在点M(,)处切线的倾斜角是()A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选B.y′=2x,故y′=1.故在点M处切线的倾斜角为45°.【补偿训练】(2015·东营高二检测)曲线y=x2-3x的一条切线的斜率为1,则切点坐标为.【解析】设切点坐标为(x0,y0),y′===(Δx+2x0-3)=2x0-3=1,故x0=2,y0=-3x0=4-6=-2,故切点坐标为(2,-2).答案:(2,-2)3.(2015·汉中高二检测)设曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a等于()A.2B.C.-D.-2【解析】选D.因为y=,所以y′==-,所以y′|x=3=-,由题意可知-a=2,1解得a=-2,故选D.二、填空题(每小题4分,共8分)4.(2015·福州高二检测)已知函数y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则=.【解析】=(a·Δx+2a)=2a=2,所以a=1,又3=a×12+b,所以b=2,即=2.答案:25.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)=.【解题指南】f′(5)即在点P处切线的斜率,f(5)可利用直线方程求值.【解析】f(5)+f′(5)=(-5+8)+(-1)=2.答案:2三、解答题6.(10分)(2015·开封高二检测)若抛物线y=4x2上的点P到直线y=4x-5的距离最短,求点P的坐标.【解题指南】利用与已知直线平行且过点P的切线斜率求出切点即为所求.【解析】由点P到直线y=4x-5的距离最短知,过点P的切线方程与直线y=4x-5平行,设P(x0,y0),则y′====(8x+4Δx)=8x,由得故所求的点为P.【补偿训练】曲线y=-x2上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值为.【解析】设与直线x-y+3=0平行的直线与曲线y=-x2切于点P(x0,y0),则由2y′===(-2x0-Δx)=-2x0,由得所以P,点P到直线x-y+3=0的距离d==.答案:(15分钟30分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.曲线y=x3-3x在点(2,2)处的切线斜率是()A.9B.6C.-3D.-1【解析】选A.Δy=(2+Δx)3-3(2+Δx)-23+6=9Δx+6(Δx)2+(Δx)3,=9+6Δx+(Δx)2,=[9+6Δx+(Δx)2]=9,由导数的几何意义可知,曲线y=x3-3x在点(2,2)处的切线斜率是9.2.(2015·泰安高二检测)设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取值范围为()A.B.[-1,0]C.[0,1]D.【解题指南】根据倾斜角的取值范围可以得到曲线C在点P处切线斜率的取值范围,进而得到点P横坐标的取值范围.【解析】选D.设点P的横坐标为x0,因为y=x2+2x+3,由定义可求其导数y′=2x0+2,利用导数的几何意义得2x0+2=tanα(α为点P处切线的倾斜角),3又因为α∈,所以1≤2x0+2,所以x0∈.故选D.二、填空题(每小题5分,共10分)3.曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中,斜率最小的切线方程为.【解题指南】求出曲线在任一点处的切线斜率,配方求斜率的最小值.【解析】设切点为P(x0,y0),过点P的切线斜率k===3+6x0+6=3(x0+1)2+3.当x0=-1时k有最小值3,此时点P的坐标为(-1,-14),其切线方程为3x-y-11=0.答案:3x-y-11=04.若抛物线y=x2-x+c上一点P的横坐标是-2,抛物线过点P的切线恰好过坐标原点,则c的值为.【解析】根据题意可知过点P处切线的斜率为f′=-5,又直线OP的斜率为-,据题意有-=-5c=4.⇒答案:4三、解答题5.(10分)(2015·银川高二检测)已知曲线y=f(x)=上两点P(2,-1),Q.(1)求曲线在点P,Q处的切线的斜率.(2)求曲线在P,Q处的切线方程.【解析】将点P(2,-1)代入y=,得t=1,所以y=.y′=4====.(1)曲线在点P处的切线斜率为y′|x=2==1;曲线在点Q处的切线斜率为y′|x=-1=.(2)曲线在点P处的切线方程为y-(-1)=x-2,即:x-y-3=0,曲线在点Q处的切线方程为y-=[x-(-1)],即:x-4y+3=0.56
