3.2导数的计算课后训练案巩固提升1.(2016安徽滁州高二检测)f(x)=1x3√x2,则f'(-1)=()A.52B.-52C.53D.-53解析:因为f(x)=x-53,所以f'(x)=-53x-83,所以f'(-1)=-53(-1)-83=-53.答案:D2.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f'(-1)=4,则a的值是()A.193B.103C.133D.163解析:因为f'(x)=3ax2+6x,所以f'(-1)=3a-6,所以3a-6=4,故a=103.答案:B3.(2016山东潍坊高二月考)已知点P在曲线y=2sinx2cosx2上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是()A.[3π4,π)B.[-π4,3π4]C.[π4,3π4]D.[0,π4]∪[3π4,π)解析:∵y=2sinx2cosx2=sinx,∴y'=cosx,设P(x0,y0).由题意,知切线的斜率存在,则曲线在点P处的切线的斜率k=tanα=cosx0,∴-1≤tanα≤1.∵0≤α<π,∴α∈[0,π4]∪[3π4,π),故选D.答案:D4.若函数f(x)=f'(1)x3-2x2+3,则f'(1)的值为()A.0B.-1C.2D.1解析:因为f(x)=f'(1)x3-2x2+3,所以f'(x)=3f'(1)x2-4x.所以f'(1)=3f'(1)-4.所以f'(1)=2.答案:C5.(2016吉林实验中学高二检测)下列曲线中,存在无数对互相垂直的切线的曲线是()A.f(x)=exB.f(x)=x3C.f(x)=lnxD.f(x)=sinx解析:因为A项中,(ex)'=ex>0,B项中,(x3)'=3x2≥0,C项中,x>0,(lnx)'=1x>0,所以不可能使切线的斜率之积为-1,故选D.答案:D6.曲线y=xx+2在点(-1,-1)处的切线方程为.1解析:由y=xx+2,得y'=2(x+2)2,所以y'|x=-1=2,所以所求切线的斜率为2,故所求切线方程为y-(-1)=2(x+1),即2x-y+1=0.答案:2x-y+1=07.(2016山西太原高二检测)设f0(x)=cosx,f1(x)=f'0(x),f2(x)=f'1(x),…,fn+1(x)=f'n(x),那么f2017(x)=.解析:由已知得f0(x)=cosx,f1(x)=-sinx,f2(x)=-cosx,f3(x)=sinx,f4(x)=cosx,…,所以f2017(x)=f1(x)=-sinx.答案:-sinx8.若f(x)=cos2x2-sin2x2+tan13π3,则f'(π6)=.解析:∵f(x)=cosx+√3,∴f'(x)=-sinx.∴f'(π6)=-sinπ6=-12.答案:-129.求下列函数的导数.(1)y=(3x3+5)(x+7);(2)y=xcosx-sinx;(3)y=x-sinx2cosx2;(4)y=11-√x+11+√x.解:(1)法一:y'=(3x3+5)'(x+7)+(3x3+5)(x+7)'=9x2(x+7)+(3x3+5)·1=9x3+63x2+3x3+5=12x3+63x2+5.法二:∵y=(3x3+5)(x+7)=3x4+21x3+5x+35,∴y'=(3x4)'+(21x3)'+(5x)'+(35)'=12x3+63x2+5.(2)∵y=xcosx-sinx,∴y'=(xcosx)'-(sinx)'=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.(3)∵y=x-sinx2cosx2=x-12sinx,∴y'=(x-12sinx)'=x'-12(sinx)'=1-12cosx.(4)∵y=11-√x+11+√x=(1+√x)+(1-√x)(1-√x)(1+√x)=21-x,∴y'=(21-x)'=2(1-x)2.10.导学号59254041已知函数f(x)=ax3+bx2+cx过点(1,5),其导函数y=f'(x)的图象如图所示,求函数f(x)的解析式.2解:∵f'(x)=3ax2+2bx+c,且f'(1)=0,f'(2)=0,f(1)=5,∴{3a+2b+c=0,12a+4b+c=0,a+b+c=5,解得{a=2,b=-9,c=12.∴函数f(x)的解析式为f(x)=2x3-9x2+12x.3
