河北省武邑中学2015-2016学年高二数学下学期暑假作业试题理（9）一、选择题1．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种2．已知直线l的斜率k满足﹣1≤k＜1，则它的倾斜角α的取值范围是（）A．B．C．或D．或3．已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a=（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣14．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）5．设函数f′（x）的偶函数f（x）（x∈R且x≠0）的导函数，f（2）=0且当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，则使f（x）＜0成立的x的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）B．（﹣2，0）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）6．已知函数f（x）=x（x+a）2在x=1处取得极小值，则实数a的值为．7．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差是，则xy=．8．已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+1）（x﹣a），若f（x）在x=a处取到极小值，则实数a的取值范围是．9．在10件产品中有6件一级品，4件二级品，从中任取3件，其中至少有一件为二级品的概率为．三、解答题10．用数学归纳法证明（1+x）n＞1+nx，这里x＞﹣1且x≠0，n∈N*且n≥2．111．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量ξ的概率分布；（3）求甲取到白球的概率．12．已知函数f（x）=+alnx（a≠0，a∈R）（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；（Ⅱ）若在区间[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．23答案1.B2.D3.D4.D5.B6.﹣1．7．f（k+1）=f（k）+（2k+1）2+（2k+2）2．8．a＜﹣1或a＞0．9.．10.证明：（1）当n=2时，左边=1+2x+x2，右边=1+2x，∵x2＞0，∴左边＞右边，原不等式成立；（2）假设当n=k时，不等式成立，即（1+x）k＞1+kx，则当n=k+1时，∵x＞﹣1，∴1+x＞0，在不等式（1+x）k＞1+kx两边同乘以1+x得（1+x）k•（1+x）＞（1+kx）•（1+x）=1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x，∴（1+x）k+1＞1+（k+1）x．即当n=k+1时，不等式也成立．综合（1）（2）可得对一切正整数n，不等式都成立．11．解：（1）设袋中原有n个白球，由题意知…∴n（n﹣1）=6得n=3或n=﹣2（舍去），所以袋中原有3个白球．…（2）由题意，ξ的可能取值为1，2，3，4，5，所以；；；；…所以ξ的分布列为：ξ12345P…（3）因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，记”甲取到白球”为事件A，由题意可得：P（A）=P（”ξ=1”，或”ξ=3”，或”ξ=5”）∵事件”ξ=1”，或”ξ=3”，或”ξ=5”两两互斥，4∴…12.解：（I）因为，当a=1，，令f'（x）=0，得x=1，又f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：x（0，1）1（1，+∞）f'（x）﹣0+f（x）↘极小值↗所以x=1时，f（x）的极小值为1．f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；（II）因为，且a≠0，令f'（x）=0，得到，若在区间[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，其充要条件是f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0即可．（1）当a＜0时，f'（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，所以，f（x）在区间[1，e]上单调递减，故f（x）在区间[1，e]上的最小值为，由，得，即（2）当a＞0时，①若，则f'（x）≤0对x∈[1，e]成立，所以f（x）在区间[1，e]上单调递减，5所以，f（x）在区间[1，e]上的最小值为，显然，f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0不成立②若，即1＞时，则有xf'（x）﹣0+f（x）↘极小值↗所以f（x）在区间[1，e]上的最小值为，由，得1﹣lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）舍去；当0＜＜1，即a＞1，即有f（x）在[1，e]递增，可得f（1）取得最小值，且为1，f（1）＞0，不成立．综上，由（1）（2）可知a＜﹣符合题意．6
