习题课导数的应用明目标、知重点会利用导数讨论函数的单调性、极值、最值(多项式次数不超过三次)．1．若函数y＝x2－2bx＋6在(2,8)内是增函数，则()A．b≤0B．b<2C．b≥2D．b>2答案A2．已知y＝asinx＋sin3x在x＝处有极值，则()A．a＝－2B．a＝2C．a＝D．a＝0答案B3．设函数g(x)＝x(x2－1)，则g(x)在区间[0,1]上的最小值为()A．－1B．0C．－D.答案C解析g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表：x01g′(x)－0＋g(x)0极小值0所以当x＝时，g(x)有最小值g＝－.4.设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为()答案D解析应用函数的单调性与其导函数的正负关系来判断导函数的图象．5．若f(x)在(a，b)内存在导数，则“f′(x)<0”是“f(x)在(a，b)内单调递减”的________________条件．1答案充分不必要解析对于导数存在的函数f(x)，若f′(x)<0，则f(x)在区间(a，b)内单调递减，反过来，函数f(x)在(a，b)内单调递减，不一定恒有f′(x)<0，如f(x)＝－x3在R上是单调递减的，但f′(x)≤0.题型一函数与其导函数之间的关系例1对正整数n，设曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列{}的前n项和的公式是________．答案2n＋1－2解析由k＝y′|x＝2＝－2n－1(n＋2)，得切线方程为y＋2n＝－2n－1(n＋2)(x－2)，令x＝0，求出切线与y轴交点的纵坐标为y0＝(n＋1)2n，所以＝2n，则数列{}的前n项和Sn＝＝2n＋1－2.反思与感悟找切点，求斜率是求切线方程的关键．跟踪训练1如图，曲线y＝f(x)上任一点P的切线PQ交x轴于Q，过P作PT垂直于x轴于T，若△PTQ的面积为，则y与y′的关系满足()A．y＝y′B．y＝－y′C．y＝y′2D．y2＝y′答案D解析S△PTQ＝×y×|QT|＝，∴|QT|＝，Q(x－，0)，根据导数的几何意义，kPQ＝＝y′∴y2＝y′.故选D.题型二利用导数研究函数的单调性、极值、最值例2已知函数f(x)＝ax3＋(a－1)x2＋48(a－2)x＋b的图象关于原点成中心对称．(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间及极值；(3)当x∈[1,5]时，求函数的最值．解 函数f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，得－ax3＋(a－1)x2－48(a－2)x＋b＝－ax3－(a－1)x2－48(a－2)x－b，于是2(a－1)x＋2b＝0恒成立，∴，解得a＝1，b＝0；(2)由(1)得f(x)＝x3－48x，∴f′(x)＝3x2－48＝3(x＋4)(x－4)，2令f′(x)＝0，得x1＝－4，x2＝4，令f′(x)<0，得－40，得x<－4或x>4.∴f(x)的递减区间为(－4,4)，递增区间为(－∞，－4)和(4，＋∞)，∴f(x)极大＝f(－4)＝128，f(x)极小＝f(4)＝－128.(3)由(2)知，函数在[1,4]上单调递减，在[4,5]上单调递增，对f(4)＝－128，f(1)＝－47，f(5)＝－115，所以函数的最大值为－47，最小值为－128.小结(1)讨论函数的单调性首先要求出函数的定义域，在定义域内解f′(x)>0得增区间，解f′(x)<0得减区间．(2)求极值时一般需确定f′(x)＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点．(3)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．跟踪训练2已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.(1)求a，b的值；(2)求函数的极小值；(3)求函数在[－1,1]的最值．解y′＝3ax2＋2bx，当x＝1时，y′|x＝1＝3a＋2b＝0，y|x＝1＝a＋b＝3，即，a＝－6，b＝9.(2)y＝－6x3＋9x2，y＝－18x2＋18x，令y＝0，得x＝0，或x＝1，∴y极小值＝y|x＝0＝0.(3)由(1)知，函数y＝f(x)＝－6x3＋9x2，又f(－1)＝15，f(0)＝0，f(1)＝3，所以函数的最大值为15，最小值为0.题型三导数的综合应用例3已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．解(1)f′(x)＝3x2－a，因为f(x)在R上是增函数，所以f′(x)≥0在R上恒成立．即3x2－a≥0在R上恒成立．即a≤3x2，而3x2≥0，所以a≤0.当a＝0时，f(x)＝x3－1在R上单调递增...
